Bevis for en parabels toppunkt - b/c niveau

En parabel (y=ax²+bx+c) er symetrisk omkring en lodret linie gennem toppunktet.

Den har to skæringspunkter med vandrette linier, f.eks x-aksen, hvor y er 0

Rødderne fås ved hjælp af løsningsformlen for en andengradsligning

de er (-b +√(b²-4ac))/2a og (-b-√(b2-4ac))/2a

symmetriaksen ligger midt mellem disse punkter og x-vardien kan fås ved at tage gennemsnittet af værdierne

[(-b +√(b2-4ac))/2a + (-b-√(b2-4ac))/2a]/2 =     fællesnævner 2a*2

(-b +√(b2-4ac))+ (-b-√(b2-4ac))/4a=                 hæver parenteserne

-b +√(b2-4ac) -b-√(b2-4ac)/4a=                         √ går ud med hinanden

-b-b/4a=-b/2a

x=-b/2a    indsættes i y=ax2+bx+c

og y udregnes

jeg har fundet på et som er ret simpelt:

Hvis vi starter med at kigge på den mest simple parabel y = ax² . Hvis a er positiv og da x² altid er positiv og kun 0 når x = 0 er y større end 0 for alle x som ikke er 0, og 0 hvis og kun hvis x = 0. Der er altså minimum i x = 0. Hvis a er negativ er y altid negativ undtagen når x er 0 og y = 0 når x = 0. Der er altså maksimum når x = 0. Parablen har altså toppunkt i (0,0). Jeg forskyder nu denne parabel en afstand h hen langs x-aksens positive retning, så alle punkter på parablen kommer stykket h længere hen ad x-aksen, altså også toppunktet. Den forrige parabel var mængden af punkter (x,y) der opfyldte ligningen y=ax² og den nye parabel er så punkterne (x+h,y) hvor der om y og x stadig gælder y=ax². Hvis jeg nu sætter x+h = z så får vi at den nye parabel er punkterne (z,y) hvor y=a(z-h)² men hvad vi kalder variablerne er ligemeget så jeg kan nu kalde z for x igen. Den forskudte parabel med toppunkt i (h,0) evisr altså punkterne (x,y) hvor y=a(x-h)². Jeg vil nu forskyde denne parabel opad langs y-aksen med en afstand k. Den nye forskudte parabel er altså punkter (x,y+k) hvor (x,y) opfylder y=a(x-h)² jeg sætter nu y+k = z så parablen er punkterne (x,z) hvor       z-k=a(x-h)² hvilket medfører z = a(x-h)² + k. Jeg ændrer nu variable navnene tilbage så vores parabel er punkterne (x,y) som opfylder y=a(x-h)² + k. Dette er parablen y=ax² men forskudt med h langs x-aksen og k langs y-aksen, dvs toppunktet som før var i (0,0) er nu i (h,k) denne information skal nu bruges.

Parablen y=a(x-h)² + k = a(x²+h²-2xh) + k = ax² + ah² - 2ahx + k = ax² - 2ahx + k + ah²    har toppunkt i (h,k) og hvis vi nu sætter b = -2ah og c = k + ah²  har vi at y = ax² + bx + c altså den normale form, og den har stadig toppunkt i (h,k) og vha. b = -2ah får man at h = -b/(2a) og vha. c = k + ah² får man k = c - ah² = c - a(-b/(2a))² = c - ab²/(4a²) = (4a²c - ab²)/(4a²)= -a(b²-4ac)/(4a²) = -(b²-4ac)/(4a) = -d/(4a)      hvor d er diskriminanten altså d = b² - 4ac

Der var toppunkt i (h,k) og jeg har lige fundet h = -b/(2a) og k = -d/(4a) så der er toppunkt i (h,k) = (-b/(2a) , -d/(4a))  :D

Det hjælper måske at tegne nogle skitser til første del.

Svar #1 antager at 2.gradsligningen har 2 rødder hvilket ikke er et generelt resultat, det gælder kun for de parabler som skærer x-aksen 2 gange og er derfor ikke et fuldstændigt bevis. Det kan dog rettes til hvis man siger at for alle parabler y = ax² + bx + c findes der en linje y = k som skærer parablen to steder så

k = ax² + bx + c har to løsninger dvs. 0 = ax² + bx + c - k har to rødder. Tager man gennemsnittet af disse to får man også x = -b/(2a). Dette er væsentligt kortere end mit bud!

#3

Læs teksten igen

Der stårr skæring med vandrette linier f.eks x-aksen

Det kan da godt være du synes dit bud er kortere, du er bare ikke så grundig.

Du skriver kort hvordan det kan gøres, jeg har taget udregningerne med. Det mener jeg man bør gøre i et bevis. Du blev kun halvfærdig.

ennesker er forskællige og deres udtryksmåde er det også. Det har ikke noget med kvalitet at gøre.

se