Bevis for differentialligninger af 2. orden m. konstante koefficienter

HVad hedder bogen? :-)

du skal forresten starte med at læse om wronski-determinanten samt linearkombinationer..

Du skal undersøge om R findes så e^(Rx) er en løsning til y''+ay'+by=0

Dvs. y=e^(Rx)

og y'=R e^(Rx) jvf. kædereglen

og y''=R^2 e^(Rx) igen jvf. kædereglen

Heraf får du at R^2 + aR + b = 0

Det er en andengradsligning du kan løse på almindelig vis med R som variabel.

Afhængig af koefficienterne a og b vil diskriminanten være negativ, nul eller positiv. Dvs. der vil være nul, en eller to løsninger.

Først ser vi på tilfældet hvor diskriminanten er positiv, dvs. der er to forskellige løsninger. De to løsninger kalder vi p og q for at kalde dem noget. Dvs. løsningerne er R=p eller R=q

Fra y=e^(Rx) har vi derfor at y=e^(px) eller y=e^(qx)

Nu kan jeg ikke se (14), men i sætning 3 står der, at du skal undersøge om de to løsninger vi er kommet frem til er lineære uafhængige. Navngiver vi løsningerne f(x)=e^(px) og g(x)=e^(qx), Gør du det ved at se om f(x) * g '(x) - f '(x) * g(x) er forskellig fra nul, dvs. om f(x) * g '(x) er forskellig fra f '(x) * g(x) hvilket de er når p er forskellig fra q

Derfor er løsningen ifølge sætning 3 som givet.

Håber det giver mening.

Bogen hedder Integralregning og differentialligninger af Flemming Clausen m. fl.

Jeg har allerede kigget på Wronski-determinanter

Tak for svaret UFO99, jeg må lige kigge på det i morgen, når jeg er lidt mere frisk :)

(14) er y''+a(x)y'+b(x)y = 0

Nu har jeg kigget på det, og nu forstår jeg det meget bedre :)

Kan du også forklare mig tilfældet med kun én løsning, altså D = 0, samt eksempel? :)

I det andet tilfælde kan jeg slet ikke forstå, hvordan de får roden, R, til at være R = -0.5*a

Er vi ikke enige om at de har brugt diskriminanten D = a²-4b til at bestemme roden og så dernæst formlen R = (b±√d)/2a = (a±√a²-4b)/2?

Jeg kan bare på ingen måde få den til at give -0.5a