Skæring mellem to cirkler

Hej,

Jeg sidder og nørkler med et problem, jeg håber I kan hjælpe med.

Jeg har vedhæftet et billede som jeg tror det er lettest at beskrive mit problem ud fra.

Der er to cirkler markeret med sort (en med A' som punkt på randcirklen og en med D' som tilsvarende punkt) og disse to cirkler skær hinanden i to punkter, O og P'. Jeg vil gerne argumentere for at vinklerne (markeret smukt med lilla)  mellem dem (tangenterne er de røde linjer) er lige store i O og P', men kan ikke helt finde ud af hvordan. Nogen der kan hjælpe mig på vej?

Hvis nogen skulle undre sig over resten af tegningen, er det inversion af linjen L (med punktet A) og linjen K (med punktet D) i cirklen uden navn, så det den egentlig skal vise er at vinklen mellem L' og K' er identisk med vinklen mellem L og K. Jeg har vist det for skæringen ved O, men mangler som sagt skæringen ved P'.