Matematik
Eksponentiel vækst (Hastesag!)
Hej. '
Vi har fået opgaven at skulle redegøre for at eksponentialfunktionen N(t)=b*ekt er en løsning til differentialligningen N'(t)=k*N(t).
Eksponentiel vækst:
Vi betragter et antal individer N(t) i en population til tiden t. I mange tilfælde vil følgende antagelse om væksten være realistisk: I små tidsrum Δt gælder, at tilvæksten ΔN i populationen er proportional både med populationens størrelse N(t) og med tidsintervallets længde Δt. det vil sige:
ΔN =k*N(t)*Δt
⇓
ΔN/Δt=k*N(t) , k ≠ 0
Hvis vi nu går udfra at den søgte funktion N(t) er differentiabel, kan vi lade Δt →0 således at ovenstående ligning reduceres til følgende differentialligning:
N'(t)=k*N(t)
På forhånd mange tak :)
Svar #2
12. januar 2010 af Frk Frank (Slettet)
at redegøre for at N(t)=b*ekt er en løsning til differentialligningen N'(t)=k*N(t).
Svar #3
12. januar 2010 af mathon
ses ved differentiation af den påståede løsning
N'(t) = b·ekt·(kt)' = b·ekt·k = k·(b·ekt) = k·N(t)
Svar #5
12. januar 2010 af Glansbillede (Slettet)
Kan du forklare hvad du gør? hvilke regneregler du bruger osv.? :)
Svar #6
12. januar 2010 af mathon
alternativt
dN/dt = k·N(t)
(1/N)·(dN/dt) = k som integreres med hensyn til t
∫(1/N)·(dN/dt)dt = ∫k·dt
∫(1/N)·dN = ∫k·dt
ln(N) = k·t + ln(b) hvor ln(b) er en integrationskonstant
ln(N) - ln(b) = k·t
ln(N/b) = k·t
N/b = ek·t
N(t) = b·ek·t
Svar #7
12. januar 2010 af Glansbillede (Slettet)
Hvorfor bruger du ΔN/Δt=k*N(t) istedet for N'(t)=k*N(t)? :)
Skriv et svar til: Eksponentiel vækst (Hastesag!)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.