Matematik

Kuglens rumfang ved planintegral

10. februar 2005 af Erik (Slettet)

Hvordan viser man at kuglens rumfang kan bestemmes ved V=4/3*pi*r^3 ved at udregne et planintegral for den?

Kuglen har radius=r og centrum i (0,0)

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. februar 2005 af Katty (Slettet)

Rumfanget V af et omdrejninglegeme, hvor f er en kontinuert funktion, er givet ved:

b
int pi*(f(x))^2 dx
a

Cirklen har ligningen x^2 + y^2 = r^2. Halvcirklen er derfor graf for funktionen givet ved:

f(x) = sqrt(r^2-x^2)

Når grafen for halvcirklen roteres 360grader omkring x-aksen fremkommer der en kugle.

Vi har så:

r
int pi*(sqrt(r^2-x^2))^2 dx =
-r

r
int pi*(r^2-x^2) dx =
-r

[pi*r^2*x] (øvregrænse = r og nedre grænse = -r) - [pi*(1/3)x^3] (øvregrænse = r og nedre grænse = -r)

Udregn dette og du skulle gerne få (4/3)*pi*r^3

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. februar 2005 af allan_sim

Tænk på at du får kuglen frem ved at dreje en cirkel 360 grader om x-aksen.

Idet cirklens ligning er givet ved

x^2+y^2=r^2

gælder, at

y=+-sqrt(r^2-x^2), -r

Lad nu f(x)=sqrt(r^2-x^2). Grafen for f er så en halvcirkel med centrum i (0,0) og radius r. Hvis du drejer den om førsteaksen, får du netop den ønskede kugle.

Rumfanget af kuglen er da givet ved

V=pi*int{-r,r}((sqrt(r^2-x^2))^2) dx

Tjek at det giver det korrekte resultat.

Svar #3
10. februar 2005 af Erik (Slettet)

Jeg tror ikke det går at lave opgaven ved hjælp af et omdrejningslegeme, når der står at det skal vises vd hjælp af et planintegral, men ellers tak for hjælpen begge to

Svar #4
10. februar 2005 af Erik (Slettet)

Jeg tror ikke det går at lave opgaven ved hjælp af et omdrejningslegeme, når der står at det skal vises vd hjælp af et planintegral, men ellers tak for hjælpen begge to

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. februar 2005 af Katty (Slettet)

Studieportalen burde næsten have noget, der kunne indikere, at en bruger er igang med at besvare et spørgsmål, så fx Allan slipper for at bruge tid på at besvare et allerede besvaret spørgsmål.

Brugbart svar (0)

Svar #6
10. februar 2005 af sigmund (Slettet)

Du skal nok have udregnet et RUMINTEGRAL, og IKKE et planintegral. Ved at udregne rumintegralet af 1-funktionen over en kugleskal, får du rumfanget af en kugle.
Du skal have fat i reduktionssætningen for rumintegral i sfæriske koordinater. Den kan du finde i en matematikbog til universitetet. Ud fra denne, så kan rumfanget af en kugle beregnes som: V=int(int(int(1*r^2,r=0..r)*sin(theta),theta=0..pi),phi=0..2*Pi) [det som står efter kommaet inde i parantesen efter 'int', er integrationsgrænserne]. Udregnes dette tripelintegral, fås V=4/3*pi*r^3.
Kan du følge med i, hvad der laves? Ellers skriver du bare igen.

Svar #7
10. februar 2005 af Erik (Slettet)

Jeg siger mange tak for svaret, og så må jeg jo i gang med at forsøge det :p

Skriv et svar til: Kuglens rumfang ved planintegral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.