Differentialligninger 1000 liters tank

Du kan relativt let løse problemet ved numerisk integration, altså vha. en simulering, enten med excel, FPro eller andre simuleringsværktøjer.

Du vil da finde, at saltkoncentrationen efter ti minutter er 181,9 g/L, og efter en time er 130,1 g/L.

Jeg kan ikke lige umiddelbart se, hvordan en udregning vha. en differentialligning skal se ud.

Opgaven minder en del om denne opgave

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=825449 

blot med lidt andre tal.

 Jeg tænkte lidt mere over problemet, og jeg nåede frem til en differentialligning, der kunne beskrive forløbet.

s(t) : den aktuelle saltkoncentration

t : tiden i minutter

Den rate s(t) vokser med, er da givet ved:

s'(t) = [  20 L · 100 g/L  -  20 L · s(t)  ]   /   [1 min ·  1000 L ]  = ( 20 L · [ 100 g/L - s(t) ] ) / [1 min · 1000 L ]

Jeg opstillede den ved at tænke på, hvor mange gram salt der tilføres pr. tidsenhed (20 L ·  100 g/L  pr. min), og hvor mange gram salt der afgives (s(t) · 20 L  pr. min).  Det er så ret logisk, at det må resultere i et nettoregnskab af den totale tilførte salt på  20 L · 100 g/L - 20 L · s(t).

Denne nye mængde salt er stadig opløst i 1000 L, og det hele sker over 1 min, så derfor dividerer vi med 1 min og 1000 L - svarende til enheden  (g/L) / min  , som er enhederne, man kunne forvente af en vækstrate af saltkoncentrationen.

Vi kan finde den fuldstændige løsning til differentialligningen, og vi får da:  s(t) =100 + k · e^(- x / 50) , hvor k er en konstant vi kan finde vha. startbetingelsen:  s(0) = 200 g/L.  Ved at bruge dette vil man få k = 100 , og det endelige udtryk er altså: 

s(t) =100 + 100 · e^(- x / 50) , hvoraf man ser, at s(t) → 100 g/L  for  x → ∞  -  100 g/L er derfor den nedre grænse, som aldrig matematisk set vil nås, da s(t) vil søge asymptotisk mod denne nedre grænse. 

Ved at bruge funktionen får vi nogle værdier, der stemmer overens med dem, jeg fandt i min simulering:

s(1 min) =  181,9 g/L

s( 10 min) = 130,1 g/L

Disse beregninger er eksakte, hvorimod simuleringen blot gav numeriske approksimationer med en nøjagtighed, man selv kan definere ud fra, hvor mange beregninger man ønsker, simuleringen skal foretage - i praksis sker det ved, at man sætter reducerer tidsskridtet mellem hver beregning (i min simulering var mit tidsskridt mellem hver beregning 1 s, som vi kan se giver en rimelig nøjagtighed).

Tak for hjælpen begge to.. :-) Specielt til dig djorka :-D STOR HJÆLP .. :-D