Matematik
Funktions maksimum
Hey, jeg har brug for hjælp til en funktions maksimum
Opgave lyder:
En funktion f(x) er givet ved: f(x)=e^(-x^2+2x+1), alt det i parentesen er det ophævede for e, så det ophævede ligner et andengradspolynomie.
a) Gør rede for at f(x) har et maksimum.
Jeg ved at det er en parabel, men jeg forstår ikke meningen med e. Skal jeg overse e og bare lave en udregning, hvor maksimum er parablens toppunkt?
Kan nogen være sød at forklare det. Tak ^^
Svar #1
20. maj 2010 af hvadmeddet (Slettet)
Du kan rigtignok finde et maksimum for -x^2+2x+1 (da det er en sur parabel).
Betragt funktionen
g(y) = ey
Hvis du finder den afledte får du
g'(y) = ey > 0 for alle y.
Dermed gælder at eksponentialfunktionen er en strengt voksende funktion: Altså hvis x1>x2 => ex1>ex2.
Dermed ved du at din funktion f maksimeres for størst mulig værdi af -x^2+2x+1, som jo netop har et maksimum. Dermed har f et maksimum.
Så moralen er, at du kan se bort fra eksponentialfunktionen. Men kun fordi den er strengt voksende.
Svar #2
21. maj 2010 af Andersen11 (Slettet)
Man skal finde stationære punkter for funktionen
f(x) = e(-x^2+2x+1) = eh(x) ,
hvor vi har sat h(x) = (-x2+2x+1) .
Ved brug af reglen for differentiation for sammensat funktion finder vi
f'(x) = (eh(x))' = (eh(x))·h'(x) .
Vi søger løsninger til ligningen f'(x) = 0 , og da ex > 0 for alle x, ser vi at
f'(x) = 0 ⇔ h'(x) = 0 .
Dermed er problemet reduceret til at finde nulpunkter for h'(x), altså til at finde maksimum for den i eksponentialfunktionen indeholdte parabel.
Grunden til, at man kan se bort fra eksponentialfunktionen her er altså, at eksponentialfunktionen er nulpunktsfri.
Skriv et svar til: Funktions maksimum
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.