Matematik
funktioner
f(x)=6x*(1/2)^x , x>=0
punktet P(x,f(x)) ligger på grafen for f i punktet Q(x,0) er P's projektion på førsteaksen.
1) beregn arealet af trekant OPQ, når x=2.
2) Bestem arealet A(x) af trekant OPQ, når x er et vilkårligt positivt tal.
3) bestem den eksakte værdi af x, for hvilken arealet af trekant OPQ er størst muligt.
nr. 1 har jeg fundet ud af, her indsatte jeg bare x=2 i f(x). derved har jeg jo |OQ| og |QP| og så fandt jeg arealet ved (|OQ|*|QP|)/2..
i den næste er jeg kommet så langt at jeg har bestemt stamfunktionen F(X).. og så kan jeg ikk rigtig komme videre..
?????????
Svar #1
08. marts 2005 af Duffy
når x er et vilkårligt positivt tal.
f(x)=6x*(1/2)^x , x>=0
Det er nemt for en trekants areal er givet ved
1/2 * højden * grundlinien
højden er givet ved y-værdien
(y = f(x) = 6x*(1/2)^x )
grundlinien er givet ved afstanden fra O til x (= x)
dvs
A(x) = 1/2*x*6x*(1/2)^x
A(x) = 3x^2*(1/2)^x
Duffy
Svar #2
08. marts 2005 af Duffy
Indsæt nemlig x = 2 i udtrykket for A(x).
Duffy
Svar #3
08. marts 2005 af Duffy
Duffy :D
Svar #4
08. marts 2005 af Duffy
Husk nu at bruge "DEN KLAMME HÅNDS PRINCIP".
For at finde max-arealet skal vi maximere A(x):
Det gøres på sædvanlig beskub via DIFFERENTIAL-KVOTIENTEN:
A'(x) = (3x^2*(1/2)^x )dx/dy
A'(x) = 6*x*(1/2)^x-3*x^2*(1/2)^x*ln(2)
A'(x) = 0
6*x*(1/2)^x-3*x^2*(1/2)^x*ln(2) = 0
x E {0, 2/ln(2)}
hvoraf kun 2/ln(2) er interesse i kreaft af at være > 0. (sic!)
Huskede du at bruge "DEN KLAMME HÅNDS PRINCIP"??
Duffy :D
Svar #5
08. marts 2005 af john vs. jon (Slettet)
A(x) = 1/2*x*6x*(1/2)^x
A(x) = 3x^2*(1/2)^x
der taber du mig lidt?!
Svar #6
08. marts 2005 af Duffy
A(x) = 1/2*x*6x*(1/2)^x
og hertil
A(x) = 3x^2*(1/2)^x
du ikke forstår?
Duffy
Svar #7
08. marts 2005 af Duffy
A'(x) = (3x^2*(1/2)^x )dx/dy
skal være:
A'(x) = d(3x^2*(1/2)^x )/dx
Sorry
Duffy
Svar #8
08. marts 2005 af Duffy
En trekants areal er givet ved
1/2 * "højden" * "grundlinien"
"højden" er givet ved y-værdien
(y = f(x) = 6x*(1/2)^x )
"grundlinien" er givet ved afstanden fra O til x (= x)
dvs
1/2 * "højden" * "grundlinien"
(1/2) * ("højden") * ("grundlinien")
A(x) = (1/2)*(6x*(1/2)^x)*(x)
A(x) = [1/2] * [6x*(1/2)^x] * [x]
A(x) = 3x^2*(1/2)^x
...er det tydligere nu??!
Duffy
Svar #9
08. marts 2005 af Duffy
1) Nu beregnes arealet nemt vha 2)
Indsæt nemlig x = 2 i udtrykket for A(x).
Således:
A(2) = 3*2^2*(1/2)^2
= 12*1/4
= 3
Iøvrigt så er max-arealet:
A(2/ln2) = ca 3,38
Duffy
Svar #10
26. november 2005 af Snemanden (Slettet)
Bestem den eksakte værdi af x, når arealet af trekant OPQ er størst muligt
A(x) får jeg til 3x^2*0,5^x
Jeg får A´(x) til 6x*0,5^x+3x^2*0,5^x*ln(0,5) ,hvilket jeg sætter lig nul. Problemet er så, hvordan jeg isolerer x? Er der nogle fif hertil?
På forhånd tak :)
Svar #11
26. november 2005 af Madsst (Slettet)
Svar #12
26. november 2005 af Snemanden (Slettet)
x*0,5^x(6+(3x^2/x*0,5^x)*(1/x)*(ln(0,5)/(x*0,5^x) = 0
Eller kan der forkortes?
Jeg ved fra ovenstående at facit skal være 2/ln(2), men kan desværre slet ikke finde frem til dette! Flere hints?
Svar #13
26. november 2005 af Madsst (Slettet)
f'(x)=6x*(0,5^x)+3*(x^2)*(0,5^x)*ln5 =>
f'(x)=x*(0,5^x)(6+3*x*ln5),
Og så bruger du nulreglen, som fortæller dig hvis a*b*c=0 => a=0 v b=0 v c=0 og da 0,5^x er forskellig fra 0 for alle x, da er x=0 v (6+3xln5)=0 og så kan du vist selv derfra :)
Svar #14
26. november 2005 af Epsilon (Slettet)
A'(x) =
6x*(1/2)^x - 3x^2*(1/2)^x*ln(2) =
(x(1/2)^x)(6 - 3x*ln(2))
Fortsæt selv...
//Epsilon
Skriv et svar til: funktioner
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.