Bevis for sin og cos skrevet som uendelig sum

Det gøres lettest ved først at vise, eller benytte, at

e^z = ∑₀^∝ zⁿ/n! for ethvert komplekst z ∈C

og så benytte, at for ethvert reelt x gælder

e^ix = cos(x) + i·sin(x) .

Så ser man, at cos(x) "opsamler" alle de lige led og sin(x) "opsamler" alle de ulige led med vekslende fortegn.

Hvis det er potensrækkeudviklingen du søger:

For z∈C er sinus defineret ved sin(z) = ( exp(ix) - exp(-ix) ) / 2i

Indsæt potensrækkeudviklingen for den komplekse eksponentialfunktion i definitionen ovenfor, og potensrækkeudviklingen for sinus fremkommer:

sin(z)=∑ [  ( (-1)ⁿ /  (2n+1)! ) z²ⁿ⁺¹ ]  (summer fra n=0 til ∞)

Du kan vise at række konvergerer for alle z.

#0

En anden fremgangsmåde starter med, at funktionen sin(x) er den entydigt bestemte løsning til differentialligningen

y''(x) = -y , med begyndelsesbetingelserne
y(0) = 0
y'(0) = 1

og så eftervise, at rækken, der er givet for sin(x) i #0, opfylder differentialligningen og begyndelsesbetingelserne.

Tilsvarende er cos(x) den entydigt bestemte løsning til differentialligningen

y''(x) = -y , med begyndelsesbetingelserne
y(0) = 1
y'(0) = 0

og man efterviser, at rækken for cos(x) opfylder denne differentialligning sammen med begyndelsesbetingelserne.

#2

I dette udtryk for sin(z) skal udtrykkes holdes helt i z:

sin(z) = (e^iz - e^-iz) /(2i)

#4

Hov ja, en svipser :)

 Tusind tak til jer fordi i har brugt tid på at svare mig og er kommet med sådan nogle fine svar :-)

Det jeg skal bruge det til er imidlertid at føre et bevis for e^ix=cos(x)+isin(x), så det kommer nok til at være Andersens ide jeg følger. Jeg vil prøve at rode med det lidt selv, og se om jeg kan gennemføre beviset.