konvergens af række

#0 svar på dit spørgsmål ... Σe^-nt er en geometrisk række .... men desværre holder dit bevis ikke! For at kunne bruge Wiererstrass skal du finde en følge (M_n)∈R₊^N så ∑M_n≥∑ne^-nt for alle t med ∑M_n konv

Vi kan formelt skrive rækken

∑_n=1^∝ ne^-nt = ∑_n=1^∝ n(e^-t)ⁿ

     = e^-t ∑_n=1^∝ n(e^-t)^n-1

     = e^-t f'(e^-t) ,

hvor f'(x) er den afledede af funktionen

f(x) = ∑_n=0^∝ xⁿ = 1/(1-x)  for |x| < 1 , hvorfor

f'(x) = 1/(1-x)² for |x| < 1 , og dermed har vi

∑_n=1^∝ ne^-nt = e^-t/(1-e^-t)² = 1/(2·sinh(t/2))² for e^-t < 1 , dvs. for t > 0

Det følger, at rækken er divergent for t ≤ 0 og uniformt konvergent for t > 0.

#2

hvorfor er det pludselig at vi har at  ∑n=1∝ ne-^nt= e^-t/(1-e^-t)² 

#3

Rækken på venstre side er = e^-t f'(e^-t) , hvor f(x) = 1/(1-x) , jvf. mit svar i #2.

Det følger da, at f'(x) = 1/(1-x)² , og dermed, at rækken er = e^-t/(1-e^-t)² som anført.