Spørgsmål til forståelse af differensligninger

Jeg kan ikke læse den del, der er grafik. Prøv at eksporter det til en pdf fil

5. Du kan bruge Taylorpolynomiet til at beregne funktionsværdier med. Når du slår op på en lommeregner er ser en del af funktionerne, der beregnes ud fra Taylorpolynomiet Taylorpolynomiet konvergerer meget hurtigt for sinus og cosinus funktionerne. Der er sandsynligvis også indlagt tabelværdier, som også er beregnet ved hjælp af et Taylorpolynomium.

6. Det kan ikke udelukkes at Taylopolynomiet antager den korrekte værdi af funktionen for nogle værdier af x; men det er ikke det normale. Man er ikke interesseret i noget med mindste |x|. Polynomiet bruges til primært til funktionsberegning. Det kan også have teoretisk interesse for eks. når man diskuterer maksimum og minimum

Tak for svarene!

Jeg forsøger med en PDF-fil.

1. Man skal vide sammenhængen udtrykket foregår i for at kunne give et sikkert svar. Mit gæt er at man har en differentialligning, som løses numerisk. Funktionen, der skal findes er x(t) Sådan en numerisk løsning kan være at man ud fra en værdi af x_t til et given tid kan regne sig frem til hvad x er til et senere tidspunkt t+1. Denne regneforskrift er både afhængig af differentialligningen og metode. Det er denne regneforskrift, der kaldes f(t, x_t)

2.  Jeg må igen gætte på sammenhængen. Passer det gæt ikke kan min forklaring være helt forkert. Mit gæt går igen ud på at det er noget med numerisk løsning af differentialligninger. Metoden kan bestå i at man erstatter en differentialligning med en differensligning, som man så løser. I forhold til 1. kan x_t+1 = f(t, x_t) være sådan en differensligning.

3. Summationen ændres til at den øvre grænse i stedet for t er t+1. Dermed kommer b_t til at indgå i summationen,

4. 1+ α/(β-α) = (β-α)/(β.-α) + α/(β-α) = [(β-α)+α]/(β-α)

Mange tak! :-)

1. Det er bare en definition fra min bog, men jeg er som sagt ikke helt sikker på, hvad det betyder (grafisk)? Der står bare, at en førsteordens differensligning i x_t kan skrives på den måde. 

2. Sammenhængen er bare, at det er blevet gennemgået til samme forelæsning. Jeg er bare i tvivl om, hvorvidt der er en eller anden speciel sammenhæng/mere sammenhæng mellem differensligninger og approksimation end der er mellem ikke-differensligninger og approksimation?

3. Jeg forstår ikke helt, hvad du mener med, at b_t indgår i summationen?

6. Hvad er så grunden til, at man gerne vil approksimere ud fra den mindst mulige| x-værdi|? Sådan har jeg opfattet det, da min lærer meget gerne ville approksimere ud e^x ud fra 0 og ln(x) ud fra 1, men man får måske ikke mere præcise resultater af den grund, blot et "nemmere" polynomium at regne videre på?

Jeg har forresten endnu et spørgsmål til emnet:

Kan man finde den eksakte grænseværdi for rækken 1/(n^1,00000001)? Jeg har konkluderet, at den konvergerer, da eksponenten > 1, men hvordan kan jeg finde grænseværdien for rækken Σ1/(n1,00000001 (n=1 og øvre grænse er ∝)

1. En generel førsteordens differensligning kan skrives på formen g(x_t+1,x_t) = 0  Løser man den ligning med hensyn til x_t+1 får du en form som angivet. Der ligger altså ikke noget mystisk, grafisk eller andet i det.

2. Der er ikke nogen speciel sammenhæng mellem approksimationer og differensligninger.

3. I den sidste sum er det a^t+1-kb_k-1, der skal summeres. Sætter du k = t+1 i dette udtryk får du a^t+1-(t+1)b_(t+1)-1 = b_t. Ved at forøge den øverste grænse fra t til t+1, får du netop b_t med i summen.

6. Rækken konvergerer hurtigere for mindre værdier af x. Med eksemplet for eksponentialfunktionen. Du vil gerne beregne e^t+x x,t > 0. Nu gælder der e^t+x=e^t*e^x  . Hvis du har e^t liggende som tabelværdi bruger du Taylorrækken til at beregne e^x og ganger resultatet på e^t. Hvis x << t behøver du ikke beregne nær så mange led i Taylorrækken for at få et resultat sammenlignet med at skulle beregne e^t+x alene ved taylorrækken

Til det sidste n1,000001 -> ∞ for n -> ∞ gælder der 1/n^1,00001 -> 0 for n -> ∞

Det hjalp rigtig meget på forståelse, tusind tak!