Matematik

grænseværdi for funktioner med flere variable

12. oktober 2010 af Lulluu23 (Slettet) - Niveau: A-niveau

min opgave lyder :

definer h: R2 \ {(0,0)} --> R ved

h(x,y)= cos(x)-cos(y)/x2+y2

bestem

H(x) := lim y->0 h(x,y), x∈R

for alle x∈R(også x=0). er H en kontinuert funktion af x?

hvad siger dette om mulighederne for at vælge en værdi c=h(0,0) sådan at h bliver kontinuert i hele R?

hjælp!! hvordan skal jeg gøre ?

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. oktober 2010 af Andersen11 (Slettet)

Først skal du afklare, hvordan funktionen h(x,y) egentlig ser ud, ved at supplere nogle parenteser. Er det

h(x,y) = (cos(x)-cos(y))/(x²+y²) ?

Svar #2
12. oktober 2010 af Lulluu23 (Slettet)

ja det er sådan den ser ud

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. oktober 2010 af Andersen11 (Slettet)

Så bestem først grænseværdien H(x) for x ≠ 0 ved at sætte y = 0.

Svar #4
12. oktober 2010 af Lulluu23 (Slettet)

bliver det så ikke

(cos(x)-1) / x^{2 ??}

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. oktober 2010 af Andersen11 (Slettet)

Ja, det er korrekt. Afgør, om den funktion er en kontinuert funktion af x. Problemstedet er x = 0.

Svar #6
12. oktober 2010 af Lulluu23 (Slettet)

jamen cos(x) er kontinuert i x=0 det vil vel sige at det hele er kontinuert ?

Brugbart svar (0)

Svar #7
12. oktober 2010 af Andersen11 (Slettet)

Funktionen

H(x) = (cos(x)-1)/x²

er ikke defineret for x = 0 (hallo, division med 0). Der skal lidt mere raffinerede metoder i brug.

Svar #8
12. oktober 2010 af Lulluu23 (Slettet)

men hvad siger dette om mulighederne for atvælge en værdi c=h(0,0) sådan så h er kontinuert i hele R^2 ? det forstår jeg ikke

Svar #9
12. oktober 2010 af Lulluu23 (Slettet)

skal man så bare differentiere det hele (L'ôpitals regl ?)

Brugbart svar (0)

Svar #10
12. oktober 2010 af Andersen11 (Slettet)

Du skal se på, om H(x) har en grænseværdi for x → 0⁺ og for x → 0^- . Hvis disse grænseværdier findes og har samme værdi fra + som fra -, har det mening at tildele funktionen H(x) denne værdi for x = 0.

Ja, man kan bruge l'Hôpital's regel, eller man kan se på Taylorudviklingen af cos(x) i x=0 .

Svar #11
12. oktober 2010 af Lulluu23 (Slettet)

så ville jeg gøre sådan her (og stop mig hvis det er forkert :O

ville bruge L'opitals regel:

(cos(x)-1)/x^2 = (-sin(x)) /2x = (-cos(x))/2 = sin(x) / 0 = cos(x) / 0 = 1 ??

så

(cos(x)-1)/x^2 =1

Svar #12
12. oktober 2010 af Lulluu23 (Slettet)

how nej !

de stopper ved (-cos(x)) / 2 x=0 ... = -1/2

Brugbart svar (0)

Svar #13
12. oktober 2010 af Andersen11 (Slettet)

#12

Ja, det sidste er korrekt. Men der er et stumt H i matematikerens navn.

Svar #14
12. oktober 2010 af Lulluu23 (Slettet)

nååh ja :D det er da også rigtigt...

men hvad har det her så at gøre med mulighederne for at vælge en værdi c=h(0,0) sådan at h bliver kontinuert i hele R^2

hvordan skal det her forstås ?

Skriv et svar til: grænseværdi for funktioner med flere variable

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.