Rumintegralet af en sfærisk funktion

Det er meget simplere x²+y²+z²=r²

Mængden R er halvkuglen med radius 1 , hvor y ≥ 0 . Du skal udtrykke R i (ρ,θ,φ) , hvor i almindelighed 0 ≤ θ ≤ 2π og 0 ≤ φ ≤ π . Halvkuglen R er da valgt ud ved at begrænse θ til [0;π], dvs

R = {(ρ,θ,φ) | 0 ≤ ρ ≤ 1 ∧ 0 ≤ θ ≤ π Λ 0 ≤ φ ≤ π }

Det er nu klar, hvorledes integralet skal sættes op

J = ∫∫∫_R ρ·sin(θ)·sin(φ) dρ dθ dφ

   = ₀∫¹ ₀∫^π ₀∫^π ρ·sin(θ)·sin(φ) dφ dθ dρ

 er resultatet så 2 ? er det bare det ?

#3

Jeg fik vist ikke volumenelementet dxdydz helt korrekt i sfæriske koordinater, da vi har

dxdydz = ρ²sin²(θ)dρdθdφ , så det korrekte integral bliver

J = ₀∫¹ ₀∫^π ₀∫^π ρ³·sin³(θ)·sin(φ) dφ dθ dρ
 

. Der er en fejl i #2. Det skal være

J = ∫∫∫ Φ · ρ²·|sin(θ)|dρ dθ dφ = ∫₀¹ ∫₀^π ∫₀^π Φ·ρ²·|sin(θ)| dφ dθ dρ hvor Φ er funktionen, du får ved at erstatte variablene i f med de transformerede variable.

Det er iøvrigt nemt at kontrollere. Hvis f(x,y,z) = 1 skal det blive rumfanget af en halvkugle.

Du har ikke angivet hvad f(x,y,z) er så jeg kan ikke svare på om dit resultat er rigtigt.

#5

Takker for korrektionen. Funktionen f(x,y,z) var givet i #0 : f(x,y,z) = y = ρ·sin(θ)·sin(φ)

så integralet vil se således ud eller hvad?

 ∫₀¹ ∫₀^π ∫₀^π ρ·sin(θ)·sin(φ)·ρ²·|sin(θ)| dφ dθ dρ = ρ³·sin²(θ)·sin(φ) dφdθdρ ?

ja

 Jeg har bare at sige mange tak for hjælpen. Jeg har fået mere end rigeligt at vide :)

Hav en god aften ;)

Det er en gammel tråd, men håber at i kan svare mig på hvorfor p^2*sin(theta) skal indgå? Hvorfor er det ikke  bare integralet af y?

Der gælder at dV =  dxdydz = ρ²|sin(θ|dφdθdρ  Det kræver en lang matematisk forklaring så jeg kan kun sige det på den måde at V har dimensionen af længde³ og det skaæ det på højre side også have

Når du transformere dit integral fra de kartesiske koordinater (x,y,z) til de polar-sfæriske koordinater (ρ,θ,φ), så får du en Jacobian som faktor i interanten.

https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant

Jacobian for ovenstående tranformation er som bekendt ρ² sin(θ)

NB. Jeg kan se at notationen i denne tråd ikke er den konventionelle notation, hvor θ er polar-vinklen og φ er azimuthal-vinklen. Denne er denne knvention jeg bruger i ovenstående, hvor imod den resterende tråd bruger den omvendte/modsatte konvention (altså at φ er polar-vinklen og θ er azimuthal-vinklen)

Jeg sidder og kigger i min bog;

Skal jeg forstå det som at når jeg formulerer mig så skriver jeg 

dV =  dxdydz = ρ2|sin(θ|dφdθdρ

som medfører at 

∫F(R) y dV =  ∫01 ∫0π ∫0π ρ·sin(θ)·sin(φ)·ρ2·|sin(θ)| dφ dθ dρ = ρ3·sin2(θ)·sin(φ) dφdθdρ

IGEN: Jeg kan se at notationen i denne tråd ikke er den konventionelle notation, hvor θ er polar-vinklen og φ er azimuthal-vinklen. Dette er den knvention jeg bruger i ovenstående, hvorimod den resterende tråd bruger den omvendte/modsatte konvention (altså at φ er polar-vinklen og θ er azimuthal-vinklen)