Side 2 - Keplers første lov

Du har en ny fejl i dit dokument, da

L = mr²θ' = (m/u²)θ'

Jeg har ovenfor udledt, hvordan man kommer frem til differentialligningen i u(θ). Det må du kunne bygge på.

hvad er det lige han gør når han siger

anyway

L=(m/u^2)*(dθ/dt)

so

d/dt=(Lu^2/m)*(d/dθ)

undskyld jeg spørger så meget og nok virker dum, men har aldrig haft noget ligende og det her er vist langt over A niveu. og jeg bliver nødt til at forstå det her fordi jeg ved at det kommer til at være med i min srp, jeg vil jo helst forstå det jeg laver.

Man skifter variabel fra t til θ . Vi betragter en funktion f(t) = f(θ(t)) og vil beregne f'(t):

f'(t) = df/dt = (df/dθ)·(dθ/dt) = θ'·df/dt .

Udelader vi funktionen f helt fra denne ligning, får vi udtrykket skrevet på operatorform:

d/dt = θ'·d/dθ = c·u²·d/dθ

ved du hvordan jeg på TI 89 lommeregneren kan vise hvordan man går fra d/dt til dr/dt, jeg skal vel på en eller anden måde indsætte værdien 1/u ind. men hvordan gør jeg det på lommregneren ?

hvis jeg siger

integrate(1/u,u) får jeg -1/u^2

men hvordan taster jeg d/dθ

det skal jo ganges med -1/u^2 

#25, #25

Nej, det aner jeg ikke, men du har det jo analytisk her.

Jeg prøver at bruge samme tegn som udregningen i pdf filen, og det går helt galt hver gang jeg prøver at sammenligne med udregningerne her. Er det fordi man integrerer dem sammen?

#27

Jeg er ikke med på, hvilken pdf fil du henviser til her. Min udledning ovenfor følger ret tæt det Calculus afsnit, du henviste til tidligere.

det er stadige den samme caluculus afsnit. Jeg tror du gør det langt over mit niveu, jeg har nu lavet det her der ligger i den vedhæftede fil, jeg prøver at gøre det sådan så jeg selv kan se hvad jeg gør, og nu er jeg nået til at skulle forklare hvordan jeg går fra d/dt til dr/dt

jeg kan se at du siger r' = dr/dt = -u-2·u' = -u-2·du/dt = -u-2·(du/dθ)·(dθ/dt) = -u-2·(du/dθ)·u2c = -c·(du/dθ)

men hvor ved jeg fra at r'= dr/dt, er det bare et udtryk? og finder jeg det ved at integrerer 1/u, så får jeg jo kun -1/u^2 og jeg skal jo på en eller anden måde få at:

(d/dt)(1/u)= dr/dt

#29

r' er jo bare en kort skriveform for dr/dt, ligesom u' er det for du/dt, og θ' for dθ/dt . Man benytter reglen for differentiation af en sammensat funktion når man beregner

du/dt = (u(θ(t))' = u'(θ(t))·θ'(t) = (du/dθ)·(dθ/dt)

men så er dr/dt jo lig med -1/u^2

men han skriver dr/dt= (d/dt)*(1/u)= -1/u^2 du/dt . er du/dt også bare en en skriveform der forklare at man har integreret? 

#31

Ja, u = 1/r , eller r = 1/u , så

dr/dt = d(1/u)/dt = -u^-2·du/dt . Her er du/dt jo den afledede af funktionen u(t) = 1/r(t) . Der er ikke tale om at integrere, men om at differentiere.

-u-2·(du/dθ)·(dθ/dt) = -u-2·(du/dθ)·u2c

hvorfor ganges der med (dθ/dt) her, og hvorfor kommer c ind i ligningen igen , vi har jo kun differentieret r

jeg er med på at: 

(1/u)^2 * dθ/dt =L/m

 dθ/dt = L/m/(1/u)^2

dθ/dt = Lu^2/m

 men hvordan forklarer jeg at (1/u)^2 * dθ/dt =L/m

#34

Se også #9 og #30

Vi har

dr/dt = d(1/u)/dt = -u^-2·du/dt = -u^-2·(du/dθ)·(dθ/dt)       (ved differentiation af sammensat funktion).

Nu har vi (#9)

r²·θ' = (dθ/dt)/u² = c = L/m , så

dr/dt = -(L/m)·(du/dθ)

lever den her tråd stadig hvis jeg stiller spørgsmål?

jeg nu siddet og lavet udledningen færdig (næsten) og jeg har også udledt keplers 2. lov ved hjælp af impulsmoment.

jeg vedhæfter filen med det som jeg har lavet, og jeg har følgende spørgsmål

hvordan forklarer jeg i keplers 1. lov  til sidst at u = 1/r = ((GMm^2)/L^2 ) + k•cos(θ)  er det samme som ellipsens ligning (hvordan kan den omskrives til det) og er min forklaring i begyndelsen nok?

og mit andet spørgsmål er til keplers 2. lov , hvordan forklarer udledningen i forhold til figuren, og har jeg overhoved brugt noget med newton her? og er udledningen rigtig.

håber du vil svare

Hvis du kan vedhæfte i .doc format, er der flere, der kan hjælpe (herunder mig selv).

sådan her

er der ikke nogen der vil svare?

Side 1, 4. linie nedefra, m skal indgå i potensen -2.

Side 1, nederst: udelad 2π/T, det er et levn fra jævn cirkelbevægelse, ikke relevant her.

Side 2: det er noget vrøvl at skrive, at der skiftes variabel fra t til θ fordi:

Side 3. Ja, man løser til sidst differentialligningen i u, og finder ligningen for en ellipse i polære koordinater. Dette viser, at planetbanen er en ellipse med massemidtpunktet i ellipsens ene brændpunkt.

Side 4. Hastighedsvektoren er tangent til banekurven, men deraf kan man ikke slutte, at hastigheden er vinkelret på radius vektor. Det gælder kun i en cirkelbevægelse.