Funktioner - dmf og vmf ud fra funktioner..?

Definitionsmængden for en funktion f(x) er normalt mængden af alle de x, for hvilke forskriften for f(x) giver mening. For funktioner, hvori der kun indgår polynomier, er definitionsmængden alle de reelle tal. For funktioner, hvori der indgår logaritmefunktioner, kvadratrødder eller brøker mellem funktioner, skal man være opmærksom på, at argumenter til logaritmer skal være positive, argumenter til kvadratrødder skal være ikke-negative, og ved brøker skal man være opmærksom på ikke at dividere med 0. Her må man så udelukke sådanne argumenter fra definitionsmængden, der ville give et ugyldigt argument til en logaritme eller en kvadratrod, eller som ville resultere i division med 0.

Værdimængden for en funktion f(x) er mængden af alle de mulige funktionsværdier, som f(x) gennemløber, når x gennemløber hele definitionsmængden. For at bestemme værdimængden, må man foretage en undersøgelse af monotoniforholdene for f(x) og bestemme lokale og globale ekstrema.

Hej,

tak for svar :) men jeg har desværre ikke fået meget ud af det :( da jeg stadig ikke forstår hvordan man håndtere en funktion hvori man skal finde både dmf og vmf,,

det vil være rigtig fint hvis du kom med et eksempel på hvordan man gør det, ellers har jeg et eksempel her:

find dmf: f(x) = 1 / x^2 -5x + 4 ..

find vmf: f(x) x^2 + 2,  -1 _< x _< 3

( _< skal betyde at pilen er oven på stregen,, :) )

det vil være lettere at forstå på denne måde tror jeg :)

#2

For den første funktion, se på, for hvilke x er udtrykket for f(x) defineret. I forskriften for f(x) divideres med x2 , s9 vi må udelukke de x, for hvilke x2 = 0 , da vi ikke må dividere med 0. Det vil sige, at vi må udelukke x = 0. Definitionsmængden for f(x) = 1/x2 -5x + 4 er da Dmf = R \ {0}

For den anden funktion, f(x) = x² + 2 , -1 ≤ x ≤ 3 , er definitionsmængden givet til intervallet [-1 ; 3] . For at finde værdi mængden for f(x), skal vi først finde lokale ekstrema for f i definitionsmængden. Vi løser da ligningen f'(x) = 0, dvs 2x = 0, der har løsningen x = 0, som ligger i Dmf . Det er klart, at f(x) har et lokalt minimum for x = 0 med minimum f(0) = 2, og at f(x) er aftagende for -1 ≤ x < 0, og voksende for 0 < x ≤ 3 . Vi beregner nu funktionsværdierne i endepunkterne for Dmf, nemlig f(-1) = 3, og f(3) = 11. Det er klart, at f(x) vil antage alle værdier mellem 2 og 11, hvorfor værdimængden er Vmf = [2 ; 11] .

jo altså jeg synes Dmf giver nogenlunde mening, men hvad vmf angår såååå er jeg stadig næsten lige så tåget som før.. :(

men i facitlisten står der at dmf giver = x ≠ 1 .. ??

hvordan løser du ligning til f(x)= 0 dvs. 2x = 0,,,, jeg har rimelig svært ved at forestille mig det, da vi kun har prøvet med nogle enkelte grafer.. !

men det svar du får er i overensstemmelse med facitlisten :)

kan du forklare hvorfor: 1 / -1/2 x +2 = R \ {4} ??

og det er dmf..

#4

Det drejer sig her ikke om at løse ligningen f(x) = 0, men om at undersøge, hvor en af ingredienserne i f(x) kan være nul, nemlig nævneren i brøken 1/x² . Funktionen f(x) = 1/x² -5x + 4 er ikke defineret, hvis vi stikker et x ind, der vil få os til at skulle dividere med 0. Vi skal derfor undersøge, for hvilke x vi ville komme til at dividere med. Det vil her være tilfældet, hvis x² = 0, dvs hvis x = 0. Derfor må vi udelade x=0 fra definitionsmængden.

Ved værdimængden for den anden funktion benytter vi, at billedet af et afsluttet interval ved en kontinuert funktion er et afsluttet interval. Da funktionen imidlertid ikke er monotont voksende eller aftagende, skal vi foruden funktionsværdierne i intervallets endepunkter også betragte funktionsværdierne i indre lokale ekstremumspunkter. Værdimængden er da det afsluttede interval fra den mindste til den største af disse funktionsværdier.