Bevis for kuglens overfladeareal?

Betragt kugleoverfladen som den omdrejningsflade, der fremkommer ved drejning af grafen for funktionen

f(x) = √(r² - x²)   , -r ≤ x ≤ r

omkring x-aksen.

Jeg har tegnet f(x) = √(r² - x²), hvor jeg har brugt r = 5.
Se vedhæftet fil.

Jeg ved også hvad du mener med det, men kan ikke se hvordan det skulle bevise formlen?

#2

Arealet af kuglens overflade er da

A = _-r∫^r f(x)·√(1 + f'(x)²) dx

Vi skal måske lige blive enig om, at vi kun skal bevise formlen 4*pi*r^2 for en helt normalt kugles overfladeareal. Ikke en kugle i et koordinatsystem, men bare en helt normalt en.

Beviser man det via et koordinatsystem, som du måske er i færd med at gøre?

              halvcirklen
                                          y = √(r² - x²)
slices i tynde skiver
med højden
                                          h = r·sin(φ)    og   bredden ≈ r·dφ   

når halvcirklen roteres
360º om x- aksen
og "det roterede "bånd"
klippes vinkelret over,
har strimlen arealet
                                              2π·(r·sin(φ))·(r·dφ) = 2π·r²·sin(φ)dφ

overfladen af kuglen - som er rotationsresultatet af halvcirklen -
har dermed
              værdien
                                              ₀∫^π 2π·r²·sin(φ)dφ = 2π·r²·₀∫^π sin(φ)dφ = 2π·r²·[-cos(φ)]₀^π = 2π·r²•2 = 4π·r²

#4

Der er da ikke noget "unormalt" ved at beskrive en kugle i et koordinatsystem.

Tak mathon! Lige præcis det jeg ledte efter.

#6

Jeg ved godt, at det er det samme, men var i tvivl om beviset skulle laves i et koordinatsystem eller helt geometrisk.