Matematik
skæring ml. tre kugler
I et tredimentionelt koordinatsystem er der en trekant ABC i xy-planen. Trekanten udgøres af punkterne A(0,5;0,8660;0), B(1,0,0) og C(0,0,0). Afstanden ml. hvert punkt er 1.
Der indlægges tre kugler, én for hvert punkt, hvor punktet er centrum i kuglen. De tre kugler har alle radius lig 1. Nu vil jeg så gerne finde de to skæringer, der findes ml. de tre kugler, og her kommer jeg i problemer.
Er godt med på at der for hver kugle kan opstilles en ligning, men har ingen idé om hvordan jeg kommer videre herfra og finder de tre kuglers skæringer.
Håber på at nogle kan hjælpe. På forhånd tak :)
Svar #1
12. marts 2011 af peter lind
Kuglernes ligning er (x-a)2+(y-b)2 + (z-c)2=r2 =1
hvor (a,b,c) er kuglernes centrum og r er radius.
Det giver 3 ligninger med 3 ubekendte, som du må løse. Hvis du trækker en af ligningerne fra de 2 andre får du 2 lineære ligninger med 2 ubekendte, som du må løse.
Svar #2
12. marts 2011 af frkhlarsen (Slettet)
Mange tak for hjælpen (:
Har prøvet at regne lidt på det.
Kan det passe, at man så får
x = 0,5,
y = 0,2887 og
z = 0,8165 eller z = -0,8165
(de to z-værdier gør, at der blir to skæringspunkter)
Er det rigtigt? eller?
Svar #3
12. marts 2011 af Andersen11 (Slettet)
#2
De to skæringspunkter ligger i afstanden 1 fra de tre punkter A, B, C. Dvs, hvert skæringspunkt danner et regulært tetraeder sammen med punkterne A, B og C . De tre punkter A, B og C ligger alle i planen z = 0 . De to skæringspunkter ligger derfor i en af de to planer z = ±h , hvor h er højden i tetraederet. Denne højde er katete i en retvinklet trekant, hvis hypotenuse er 1, og hvis anden katete er (2/3)·(√3)/2 = 1/√3 . Der gælder derfor
h2 + (1/3) = 1 , eller h = √(2/3) = (√6)/3
Skæringspunkterne projiceres på planen z = 0 i det fælles skæringspunkt for højderne, medianerne og vinkelhalveringslinierne i trekant ABC, dvs tyngdepunktet af de tre punkter A, B, og C. Vi finder da x- og y- koordinaterne for de to skæringspunkter mellem kuglerne som gennemsnittet af x- og y-koordinaterne for de tre punkter A, B og C.
De to skæringspunkter har derfor koordinaterne
(1/2 ; (√3)/6 ; ±(√6)/3) ≈ (0,5 ; 0,288675 ; ±0,816497)
De numeriske værdier i #2 er helt i overensstemmelse med denne løsning.
Skriv et svar til: skæring ml. tre kugler
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.