Matematik
Sandsynlighedsregning med flere sandsynligheder
Til en bestyrelse, der består af 9 medlemmer, er knyttet to suppleanter, der træder ind i tilfælde af sygdom blandt de 9 medlemmer.
Forud for et kommende møde antages, at der er sandsynligheden 1/4 for, at der er netop ét medlem sygt, sandsynligheden 1/8 for, at der er netop to medlemmer syge, og at der er sandsynligheden 5/8 for, at ingen er syge.
På det nævnte møde skal der nedsættes et udvalg bestående af tre personer, der vælges tilfældigt blandt mødedeltagerne.
a) Bestem sandsynligheden for, at der ingen suppleanter kommer i udvalget.
b) Bestem sandsynligheden for, at der kommer netop én suppleant i udvalget.
c) Hvis det viser sig, at der ingen suppleanter kommer i udvalget, hvad er da sandsynligheden
for, at netop ét medlem var sygt ved mødet?
Denne opgave kan vi overhovedet ikke komme i gang med. Nogen der har et hint til hvordan vi kan få flettet alle sandsynlighederne sammen eller bare en løsning til problemet?
På forhånd tak.
Svar #1
05. april 2011 af andershorsted (Slettet)
Start med at definere to stokastiske variable:
A : Antal medlemmer der er syge
B : Antal suppleanter i udvalget
I opgave a) skal P(B=0) beregnes, og dertil kan I benytte følgende formel
P(B=0) = P(B=0 | A=0)*P(A=0) + P(B=0 | A=1)*P(A=1) + P(B=0 | A=2)*P(A=2)
For at kunne putte tal ind i formlen skal der findes et udtryk for P(B=0 | A=k), der er sandsynligheden for at der kommer 0 suppleanter i udvalget GIVET at antallet af syge medlemmer er lig k. Men sandsynligheden for at der kommer 0 suppleanter i udvalget, når der er k medlemmer syge, er jo bare sandsynligheden for at udtage 3 ikke-suppleanter uden tilbagelægning. Derfor er
P(B=0 | A=k) = K(9-k, 3)*K(k, 0) / K(9,3) = K(9-k, 3) / K(9,3)
Nu kan I indsætte i formlen for P(B=0), hvilket giver
P(B=0) = (K(9,3) / K(9,3))*(5/8) + (K(8,3)/K(9,3))*(1/4) + (K(7,3)/K(9,3))*(1/8)
hvilket giver
P(B=0) = 1*(5/8) + (2/3)*(1/4) + (5/12)*(1/8) = 27/32 = 0.84375 = 84.375 %
Opgave b) kan løses på præcis samme måde, men I skal finde et nyt udtryk for P(B=1 | A=k)
Opgave c) kan løses ved at benytte Bayes' formel. I skal finde P(A=1 | B=0), der med Bayes' formel kan skrives som
P(A=1 | B=0) = P(B=0 | A=1)*P(A=1) / P(B=0)
Her kender I alle størrelserne, så det er bare at sætte tal ind og beregne resultatet.
Skriv et svar til: Sandsynlighedsregning med flere sandsynligheder
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.