Integration vha. trigonometrisk substitution

 Det underlige er ledet hvor jeg får 

- arctan(√(r²-x²)/x) 

og lommeregneren får:

arctan(x/√(r²-x²))

Ellers er resten det samme. Men jeg kender da ikke nogen regne regler som siger at man bare kan skifte fortegn og så tage reciprokken inde i parentesen for arctan... Min lærer kunne heller ikke finde fejlen, så jeg håber desperat nogen herinde kan hjælpe. Dets uden siger grafregnere hvis jeg sætter udtrykkene lig med hinanden at det er "false"... Det tyder på at der ER en eller anden fejl i min fremgangs måde.

Man har, idet vi antager r > 0,

∫ f(x) dx = ∫ √(r² -x²) dx = r·∫ √(1 - (x/r)²) dx = r²·∫ √(1 - (x/r)²) d(x/r) = r²·∫ √(1 - t²) dt , med t = x/r

Nu foretager vi en ny substitution t = sin(u), dt = cos(u) du , så vi får

= r²·∫ cos(u)² du = r²·(1/2)·∫ (cos(2u) + 1) du

= r²·(1/2)·((1/2)sin(2u) + u)

= r²·(1/2)·(sin(u)·cos(u) + u)

= r²·(1/2)·(sin^-1(t) + t·√(1-t²))

= (1/2)r²·(sin^-1(x/r) + (x/r)·√(1 - (x/r)²) )

#1

Du undrer dig over, hvorvidt Arctan(u) er lig med -Arctan(1/u) , og det er ikke tilfældet; men der gælder, at

Arctan(u) + Arctan(1/u) er en konstant.

Sætter vi nemlig u = tan(x) , har vi

(1/u) = 1/tan(x) = cot(x) = cos(x)/sin(x) = sin((π/2)-x) / cos((π/2) -x) = tan((π/2) -x) , og dermed

Arctan(u) + Arctan(1/u) = Arctan(tan(x)) + Arctan(tan((π/2) -x)) = x + (π/2) -x = π/2

Lommeregnerens stamfunktion og din stamfunktion afviger altså fra hinanden med konstanten π/2 . De er derfor begge to gyldige som en stamfunktion til f(x).

Det ses ofte, at lommeregneren kommer frem med en stamfunktion, der ved første øjekast ser meget forskellig ud fra, hvad man regner sig frem til manuelt, men som blot har en anden konstant indbygget i funktionen.

#1

Man kan i øvrigt vise, at

Arcsin(x/r) = Arctan(x/√(r² -x²)),

hvorfor din stamfunktion i #0 også er ækvivalent med udtrykket i #2 .

Idet tan(x) = sin(x)/√(1 - sin(x)²) , har vi

tan(Arcsin(x)) = sin(Arcsin(x)) / √(1 - sin(Arcsin(x))²) = x / √(1 - x²) , og dermed

Arcsin(x) = Arctan(x/√(1-x²)) ,

hvoraf det ovenstående udtryk let følger ved at substituere x -> x/r .

Mange tak det var en stor hjælp Andersen11 ;)