Integral, areal

Her er det grafisk:

Selv om punktmængden ligger under førsteaksen, har den stadig et areal. Den begrænses af de to funktioners grafer, så det er jo |f(x) - g(x)| , der skal integreres, og den funktion er jo ikke-negativ på det relevante interval.

Er arealet så:

Hvad mener du med at funktionen er ikke-negativ på det relevante interval?

Hvorfor har du sat '-' foran dit integral?

#4

Du bliver ved med at udelade "dx" i integralet. Det er en væsentlig del af integralet.

Funktionen g(x) - f(x) er ikke-negativ på intervallet fra A til B. Derfor kan det bestemte integral af den funktion umiddelbart fortolkes som arealet mellem de to funktioners grafer.

Jeg troede bare at integralet som arealet kun var arealet under funktionen ned til førsteaksen, og at det ikke kunne bevæge sig under

 er den øvre funktion. Hvis du integrerer differensen  vil du få det søgte areal, dog med et '-' foran. Derfor er  (evalueret i grænserne) det søgte areal. Alternativt  (evalueret i grænserne). 

#7. 

Metoden, som anvendes i denne opgave, kan let bevises. Det bør kunne findes i din lærebog. 

#7

Hvis g(x) ≥ f(x) på intervallet [a;b] , er _a∫^b (g(x) - f(x)) dx aralet af den punktmængde, der begrænses af graferne for funktionerne f(x) og g(x), og linierne x = a og x = b .

Okay, det vil jeg huske fremover, så. Tak skal I have :)
 

Et kort bevis. Antag, at f(x)  g(x), og begge ligger over x-aksen. Hvis du vil beregne arealet mellem de to, så vil det jo svare til at beregne arealet under f(x) og derefter subtrahere arealet under g(x), hvilket er netop det vi har gjort (bemærk at integration er en lineær operation, så vi kan samle det under et integral). 

I de tilfælde hvor arealet er under x.aksen, da kan du lægge en given konstant til begge funktioner, således at du "løfter" dem op over x-aksen. Hvis g(x) laveste punkt har y-værdien -3, da kan du jo netop lægge 3 til g(x), således at det laveste punkt er ikke-negativ. Dette ændrer dog arealet, så du skal huske at lægge 3 til f(x) også. Nu kan du igen tage integralet af differensen, men ∫ f(x) + 3 - (g(x) + 3)dx er jo lig ∫ f(x) + 3 - g(x) - 3 dx og da 3'erne går ud med hinanden fås ∫ f(x) - g(x) dx, altså igen differensen mellem øvre og nedre funktion integreret og evalueret i grænserne a og b.