Rødder

Man kan omskrive

til

og, i første omgang, løse 2.gr. ligningen i tælleren m.h.t.  e^x

#1

Hvordan kom du lige frem til brøken til sidst?

#1

Rødderne bliver jo en funktion af x?

Ligningen kan vist kun løses numerisk på R .

Da både cos(x) og cosh(x) er lige funktioner, er det tilstrækkeligt at løse ligningen for x > 0. Her finder man en rod i intervallet [1,875 ; 1,876] , en rod i intervallet [4,694 ; 4,695], en rod i intervallet [7,854 ; 7,855], en rod i intervallet [10,995 ; 10,996] , osv.

For meget store værdier af x vil cosh(x) → e^x/2 , så ligningen bliver tilnærmelsesvist

        cos(x) = -2·e^-x ,

dvs for store værdier af x vil rødderne tilnærmelsesvist være  x = (π/2) + n·π , n positiv hel.

#4

Er der et navn på denne metode til at beregne/løse numerisk?

#4

Hvordan karakteriseres "store værdier af x"?. Rødderne i intervallet [1,875 ; 1,876], [4,694 ; 4,695] etc. er vel ikke store. Hvordan har du fundet dem?

Man kan finde rødderne ved root-bracketing. Man laver en tabel over cos(x)·cosh(x)+1 med passende x-værdier, for eksempel med intervallængde Δx = 0,1. Derved finder man, at der er en rod mellem 1,8 og 1,9. Så fininddeler man tabellen mellem 1,8 og 1,9 med Δx = 0,01 , og finder at roden ligger mellem 1,87 og 1,88 . Metoden kan fortsættes, så længe regneværktøjet (her Excel) giver følsomhed i decimalerne. Rødderne, der er listet ovenfor, er ikke så store, men denne tabel giver dog en fornemmelse af, hvor tæt man er

n  (1/2+n)*pi
0  1.5708
1  4.7124
2  7.8540
3 10.9956
4 14.1372
5 17.2788

#7

Ja, okay. Hvordan har du egentlig isoleret x i #4?

#8

Isoleret x?? Når x er stor, reduceres ligningen til   cos(x) = 0 .

Man kan også bestemme de positive rødder ved at benytte Newton-Raphson iteration, hvilket også kan gøres let i Excel. Efter 4-5 iterationer har man bestemt en rod til 8 decimaler. Man finder da følgende tabel

n         xn             xn/pi
0  1.87510407   0.5968642
1  4.69409113   1.4941756
2  7.85475744   2.5002469
3 10.99554073  3.4999893
4 14.13716839  4.5000005
5 17.27875953  5.5000000

#9

Ah, det er rigtigt. Tak.