Matematik

Differential lininger med begyndelses værdi.

09. juni 2014 af halladall (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej.

Jeg sidder med en opgave jeg ikke helt forstår.

Jeg skal skal løse differential ligningen

$\frac{d^2y}{dx^2} = 9 * y$

med begydelsesbetingelserne y(0)=2 og y'(0)=9

Jeg forstår ikke hvad jeg skal gøre i denne opgave, og jeg ved ikke hvad $\frac{d^2y}{dx^2}$ betyder.

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. juni 2014 af mathon

generelt:
løsningen til
$\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2}(y)=y{\, }''=\omega ^2\cdot y$

er
$y(x)=c_1\cdot \left ( e^{\omega x}+e^{-\omega x} \right )+c_2\cdot \left ( e^{\omega x}-e^{-\omega x} \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #2
09. juni 2014 af mathon

systemet modtager ikke latex i øjeblikket.

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. juni 2014 af mathon

Så du har
$y{\, }''=3 ^2\cdot y$

$y(0)=c_1\cdot \left ( e^{3\cdot 0}+e^{-3 \cdot 0} \right )+c_2\cdot \left ( e^{3\cdot 0}-e^{-3\cdot 0} \right )=2$

2c_1+0=2
c_1=1
og

$y{\, }'(x)=\omega c_1\cdot \left ( e^{\omega x}-e^{-\omega x} \right )+\omega c_2\cdot \left ( e^{\omega x}+e^{-\omega x} \right )$

$y{\, }'(0)=3\cdot \left ( e^{3\cdot 0}-e^{-3 \cdot 0} \right )+3c_2\cdot \left ( e^{3\cdot 0}+e^{-3\cdot 0} \right )=9$

Svar #4
09. juni 2014 af halladall (Slettet)

Ok, jeg tror jeg har lavet en fejl da jeg skrev det ind

Ligningen hedder

$\frac{d^2y}{dx^2}=-9*y$

Problemet er også at jeg ikke forstår hvad det går ud på. Jeg kan ikke finde en god forklaring på hvad dette her er.

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. juni 2014 af mathon

endnu en en gang besvær med Latex

$3\cdot 0+3c_2=9$

$c_2=\frac{3}{2}$

konklusion:
$y(x)=\left ( e^{3 x}+e^{-3 x} \right )+\frac{3}{2}\cdot \left ( e^{3 x}-e^{-3 x} \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #6
09. juni 2014 af mathon

Den fejl ændrer meget:

Du løser en 2. grads differentialligning:

generelt:
løsningen til
$\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2}(y)=y{\, }''=-\omega ^2\cdot y$

er
$y(x)=c_1\cdot \cos(\omega x)+c_2\cdot \sin(\omega x)=A\cdot \sin(\omega x+\varphi _o)$
med
$y{\, }'(x)=\omega A\cdot \cos(\omega x+\varphi _o)$

Brugbart svar (0)

Svar #7
09. juni 2014 af mathon

hvoraf du har
løsningen til
$\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2}(y)=y{\, }''=-3 ^2\cdot y$

er
$y(x)=c_1\cdot \cos(3 x)+c_2\cdot \sin(3 x)=A\cdot \sin(3 x+\varphi _o)$
med
$y{\, }'(x)=3 A\cdot \cos(3 x+\varphi _o)$

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. juni 2014 af mathon

samt
$y(0)=A\cdot \sin(3\cdot 0+\varphi _o)=2$

$A\cdot \sin(\varphi _o)=2$

$y{\, }'(0)=3 A\cdot \cos(3\cdot 0+\varphi _o)=9$

$A\cdot \cos(\varphi _o)=3$

ved division fås
                                                  $\frac{A\cdot \sin(\varphi _o)}{A\cdot \cos(\varphi _o)}=\frac{2}{3}$
hvoraf
                                                         $\tan(\varphi _o)=\frac{2}{3}$
                                                         $\varphi _o=\tan^{-1}\left (\frac{2}{3} \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #9
09. juni 2014 af mathon

$A=\frac{2}{\sin\left ( \varphi _o \right )}=\frac{2}{\sqrt{\frac{4}{13}}}=\sqrt{13}$

konklusion:
$y(x)=\sqrt{13}\cdot \sin\left (3 x+\tan^{-1}\left ( \frac{2}{3} \right ) \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #10
09. juni 2014 af mathon

Hvis du foretrækker
løsningformen

                 $y(x)=c_1\cdot \cos(3 x)+c_2\cdot \sin(3 x)$
haves
                 $y(0)=c_1\cdot \cos(3\cdot0)+c_2\cdot \sin(3\cdot 0)=c_1\cdot 1=2$
                                c_1=2

$y{\, }'(x) =-6\cdot \sin(3x)+3c_2\cdot \cos(3x)$

$y{\, }'(0) =-6\cdot \sin(0)+3c_2\cdot \cos(0)=9$

$0+3c_2\cdot 1=9$

c_2=3

konklusion:
$y(x)=2\cdot \cos(3 x)+3\cdot \sin(3 x)$

Brugbart svar (0)

Svar #11
09. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Differentialligningen y''(x) = -3²·y(x) har, som anført i #7 den generelle løsning

y(x) = c₁·cos(3x) + c₂·sin(3x) ,

og da

y '(x) = -3·c₁·sin(3x) + 3·c₂·cos(3x) ,

har man

y(0) = c₁ , og y '(0) = 3·c₂ .

For den konkrete opgave er y(0) = 2 og y '(0) = 9 , hvorfor c₁ = 2 og c₃ = 3 , så løsningen, der opfylder begyndelsesbetingelserne, er

y(x) = 2·cos(3x) + 3·sin(3x)

der er helt konsistent med løsningen i #7 - #9, men som i et vist perspektiv kan forekomme simplere at arbejde videre med, og det er også indholdet i #10.

Skriv et svar til: Differential lininger med begyndelses værdi.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.