Matematik

Additionsformler og de logaritmiske formler

16. juni 2014 af MarieHL123 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Nogle der ved hvordan man udleder addtionsformlerne og de logaritmiske formler?

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. juni 2014 af mathon

For enhedsvektorerne

$\vec{a}=\begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}$ og $\vec{b}=\begin{pmatrix} \cos(u)\\ \sin(u) \end{pmatrix}$ u > v

gælder for den mellemliggende vinkel
u-v

$\cos(u-v)=\vec{a}\cdot \vec{b}=\begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \cos(u)\\ \sin(u) \end{pmatrix}=\cos(u)\cdot \cos(v)+\sin(u)\cdot \sin(v)$

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cos(u+v)=\cos(u-(v))=\cos(u)\cdot \cos(-v)+\sin(u)\cdot \sin(-v)=\cos(u)\cdot \cos(v)-\sin(u)\cdot \sin(v)$

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Hvis du tænker på additionsformlerne for funktionerne sin og cos, kan de udledes ganske simpelt, hvis man har adgang til at benytte Eulers formel

e^iφ = cos(φ) + i·sin(φ)

De logaritmiske formler udledes let, når additionsformlerne er på plads.

Svar #3
16. juni 2014 af MarieHL123 (Slettet)

Kan man ikke udlede dem på en anden måde, da vi ikke har lært om vektorer eller Eulers formel endnu?

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man kan følge beviset som det er gennemgået her

http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_trigonometric_identities#Angle_sum_identities

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. juni 2014 af mathon

$\sin(u-v)=\widehat{\vec{a}}\cdot \vec{b}=\begin{pmatrix} -\sin(v)\\ \cos(v) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \cos(u)\\ \sin(u) \end{pmatrix}=\sin(u)\cdot \cos(v)-\cos(u)\cdot \sin(v)$

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \sin(u+v)=\sin(u-(-v))=\sin(u)\cdot \cos(-v)-\cos(u)\cdot \sin(-v)=\sin(u)\cdot \cos(v)+\cos(u)\cdot \sin(v)$

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. juni 2014 af mathon

logaritmiske formler:

Vedhæftet fil:logaritmiske formler.docx

Brugbart svar (0)

Svar #7
16. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Benytter man Eulers formel, har man

$e^{i(x+y)}=e^{ix}\cdot e^{iy}$

dvs.

$\cos (x+y)+i\cdot \sin (x+y)=(\cos x+i\cdot \sin x)\cdot (\cos y+i\cdot \sin y)\newline\newline =\cos x\cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y + i\cdot (\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y)$

hvoraf man aflæser additionsformlerne

$\newline\newline \cos (x+y)=\cos x\cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y \newline\newline \sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x \cdot \sin y$

Skriv et svar til: Additionsformler og de logaritmiske formler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.