Matematik

Har ingen anelse om, hvordan de løses?

08. september 2014 af 123434 (Slettet) - Niveau: B-niveau

For et firma gælder, at den månedlige fortjeneste på produktionen af en bestemt vare er givet ved:

f(x)=-1/400x⁴+10x 0<x<18

hvor f(x) er den månedlige fortjeneste i tusinde kroner, og x er salgsprisen pr. styk i kr.

Bestem ved hjælp af differentialregning den salgspris, der giver den største månedlige fortjeneste.

Hvor stor er den størst mulige månedlige fortjeneste?

f'(x)=-1/100x³+10

f'(x)=-1/100x³+10=0

Opgave 2

For en trekant gælder som bekendt følgende sammenhæng mellem arealet A, højden h og grundlinjen g:

A=1/2hg

Vi ser nu på en retvinklet trekant, hvor h og g kan betragtes som kateternes længder.

Bestem de værdier af h og g, der giver det størst mulige areal, når kateternes længde tilsammen er 5.

h+g=5

g=?

h=?

h kan vil isoleres til h=5-g

A=1/2*(5-g)*g

Hej, de er slet ikke nemme de her. Har prøvet at løse dem, men står fast

Hvordan løser I dem?

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Opg 1. Løs ligningen færdig

f '(x) = -(1/100)x³+10 = 0 ,

dvs. x³ = 1000 = 10³ .

Opg 2.

Find maksimum for funktionen A(g) = (1/2)·(5-g)·g . A(g) er et 2.-gradspolynomium, der vender grenene nedad, og det har maksimum i topppunktet, der ligger midt mellem rødderne 0 og 5 , dvs

g = 5/2 , h = 5 - g = 5 - (5/2) = 5/2 .

Svar #2
08. september 2014 af 123434 (Slettet)

x³=1000

x=10

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. oktober 2018 af Rallbp (Slettet)

Hej.

Jeg sidder lige pt. med opgave 2 her og jeg kan se at ligningen er rigtig med grafer samt at regne efter.
Hvad jeg dog ikke forstår er hvordan præcis det er lykkedes at komme frem til denne ligning "A(g) = (1/2)·(5-g)·g"?

Jeg har prøvet, men det kan simpelthen ikke lykkedes mig at få isoleret h så den forsvinder?

håber at der er en der kan hjælpe? :)

Brugbart svar (0)

Svar #4
01. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Du har at (eftersom summen af kateterne er lig 5)

$h+g = 5 \quad\Leftrightarrow\quad h = 5-g$

Hvorfor at arealet bestemt ved sidelængden g på fælgende hvis

$\begin{align*} A &= \frac{1}{2}hg \\ &= \frac{1}{2}(5-g)g \end{align*}$

Du kan tænke på dette som en funktion, altså

$\begin{align*} A(g) &= \frac{1}{2}(5-g)g \end{align*}$

Dette er en parabel og den har trivielt rødderne $g = 0$ og $g = 5$ . Efersom parabelen er konkav har den toppunkt for (pga. symmetrien i en parabel):

$g = \frac{5-0}{2} = \frac{5}{2}$ .

Hvorfor at arealet er størst for

$g = h = \frac{5}{2}$

Altså en ligebenet og retvinklet trekant.

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. oktober 2018 af Rallbp (Slettet)

Tusind tak for det hurtige svar. :)

men ganger man så bare med g udenfor parantesen for stadig kun at have 1 variabel?
umiddelbart fortæller min logik mig at man burde sætte h derude?

Går ud fra at det måske er en regel at man kan gøre det, da en trekant altid vil have det største areal som retvinklet og ligebenet? (ret mig meget gerne hvis det er helt forkert)

Brugbart svar (0)

Svar #6
01. oktober 2018 af swpply (Slettet)

#5
men ganger man så bare med g udenfor parantesen for stadig kun at have 1 variabel?
umiddelbart fortæller min logik mig at man burde sætte h derude?

Nej,

Er du med på at du kan udtrykke $h$ ved $g$ pga. betingelsen om at summen at kateterne er lig 5? Hvorfor at du har at

(1) $h = 5-g$

Arealet af en retvinklet trekant er generalt bestemt ved

(2) $A = \frac{1}{2}\cdot h\cdot g$

Ved substitution af (1) i (2) har du at

$A = \frac{1}{2}\cdot \underbrace{(5-g)}_{=h}\cdot g$

Dette er en konkav parabel! Hvordan ser jeg det, jo ved følgende

$\begin{align*} A(g) &= \frac{1}{2}(5-g)g \\ &= -\frac{1}{2}g^2 + \frac{5}{2}g \end{align*}$

Dette er et andengradspolynomium ⇒ parabel og koefficienten til andengradsleddet er negativt ⇒ parabelen er konkav (nogen bruger det mere barnlige udtryk sur til at betegne dette).

Brugbart svar (0)

Svar #7
01. oktober 2018 af swpply (Slettet)

#5 Går ud fra at det måske er en regel at man kan gøre det, da en trekant altid vil have det største areal som retvinklet og ligebenet? (ret mig meget gerne hvis det er helt forkert)

Det kommer helt an på hvilke betingelser/constraints trekanten skal opfylde.

Hvis trekanten ikke skal opfylde nogen ydeligere betingelser end at omkressen er endelig og fast/fikseret. Ja, i dette tilfælde vil en retvinklet og ligebenet trekant være den trekant med størst areal ibland alle trekanter med samme omkreds. Dette følger trivelt ved at et kvadrat er den rektangel med størst areal iblandt alle rektangler med samme omkreds.

Ved at løsse denne opgave, beviser du at en retvinklet trekant for hvilken summen af dens kateter er lig 5 har størst areal hvis den også er ligebenet.

Brugbart svar (0)

Svar #8
01. oktober 2018 af Rallbp (Slettet)

Okay endnu engang tak. :)

Nu kan jeg godt se hvordan det giver mening, havde selvfølgelig ikke lige sat sammen at (5-g) jo i virkeligheden var h nu..

Brugbart svar (0)

Svar #9
01. oktober 2018 af swpply (Slettet)

#8
Okay endnu engang tak. :)

Nu kan jeg godt se hvordan det giver mening, havde selvfølgelig ikke lige sat sammen at (5-g) jo i virkeligheden var h nu..

Velbekommen ;-)

Skriv et svar til: Har ingen anelse om, hvordan de løses?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.