Matematik

Opgaver i differentialregning med hjælpe midler

14. september 2014 af kiiiim (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej. Har fået en opgave der ser sådan her ud:

Fra et rør løber forurenet vand ned i en tønde med vand. Med C(t) betegnes koncentrationen (målt i ppm) af det
forurenende stof i tønden til tidspunktet t (målt i minutter). I en model antages det, at C(t) er en løsning til differentialligningen

dC/dt = 0,4 - 0,02 * C

Det oplyses, atC(0)=0 .

a) Bestem en forskrift for C(t).

b) Skitsér grafen for C(t), og bestem det tidspunkt, hvor koncentrationen af det
forurenende stof i tønden er 10 ppm.

c) Bestem C′(15) , og giv en fortolkning af dette tal.

Jeg er gået i stå ved opgave b. Er der en der kan regne den ud og sige hvad resultatet er . Har nemlig fået et mærkeligt resultat som ser således ud t=((−34.6574)/(ln(e)))

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. september 2014 af mathon

$C{\, }' + 0,02\cdot C = 0,4$

brug panserformlen til beregning af C(t)

Svar #2
14. september 2014 af kiiiim (Slettet)

jaman skal jeg så insætte 10 ind på c' plads?

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. september 2014 af mathon

           Du skal substituere t med 10
           i
                       C(10) = ...

Brugbart svar (1)

Svar #4
14. september 2014 af GalVidenskabsmand (Slettet)

Opgaven kan løses med separation af de variable:

dC/dt = 0,4 - 0,02*C <=>

dC/dt = 0,02(20 - C) <=>

∫ 1/(20 - C) dC = ∫ 0,02 dt + k <=>

- ln(20 - C) = 0,02*t + k <=>

20 - C = e^{-0,02*t - k} <=>

C = 20 - e^{-0,02*t - k} <=>

C = 20 - e^-k *e^-0,02*t <=>

C = 20 - k*e^-0,02*t (Jeg har omdøbt e^-k til k)

Bestemmelse af k:

C(0) = 0 <=>

0 = 20 - k <=>

k = 20

Så forskriften bliver

C = 20 - 20*e^-0,02*t

C(t) = 10 <=>

10 = 20 - 20*e^-0,02*t <=>

20*e^-0,02*t = 20 -10 <=>

e^-0,02*t = 0,5 <=>

-0,02*t = ln(0,5) <=>

t = 34,66

Svar #5
14. september 2014 af kiiiim (Slettet)

jamen hvad er mit c?

Brugbart svar (1)

Svar #6
14. september 2014 af mathon

$C(t)=20-20\cdot e^{-0,02\cdot t}$

$C(10t)=20-20\cdot e^{-0,02\cdot 10}$

Svar #7
14. september 2014 af kiiiim (Slettet)

hvad med opg c?

skal man beregne C'(15)?

Brugbart svar (1)

Svar #8
14. september 2014 af GalVidenskabsmand (Slettet)

Find C'(t) ved at diffferentiere den fundne forskrift, og indsæt t=15.

C'(15) udtrykker, hvor hurtigt koncentrationen ændrer sig efter 15 minutter.

Skriv et svar til: Opgaver i differentialregning med hjælpe midler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.