sin og cos i samme ligning

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. oktober 2014 af mathon

$0,74\cdot \sin\left ( \frac{\theta}{2} \right )=1,7\cdot \cos\left ( \frac{\theta}{2} \right )$

$\tan\left ( \frac{\theta }{2} \right)=\frac{1,7}{0,74}=2,2973$

$\theta =2\cdot \tan^{-1}\left (2,2973 \right )=2,32048+p\cdot 2\pi \; \; \; \; p\in \mathbb{Z}$

Svar #2
04. oktober 2014 af caco52 (Slettet)

Nåh ja ! Den burde jeg have set - Tak for det !

Svar #3
04. oktober 2014 af caco52 (Slettet)

Og dog - den er ikke rigtig alligevel. Der står 1.7 - 1.7*cos(teta/2) på højre side

Brugbart svar (0)

Svar #4
04. oktober 2014 af mathon

det var sjusk
$0,74\cdot \sin\left ( \frac{\theta}{2} \right )=1,7-1,7\cdot \cos\left ( \frac{\theta}{2} \right )$

$1,7\cdot \cos\left ( \frac{\theta}{2} \right )+0,74\cdot \sin\left ( \frac{\theta }{2} \right )=1,7$

sæt
$\frac{0,74}{1,7} =\frac{{\sin\beta }}{\cos(\beta )}=\tan(\beta )$

hvoraf
$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1,7\cdot \left ( \cos\left ( \frac{\theta }{2} \right )+\frac{0,74}{1,7}\cdot \sin\left ( \frac{\theta }{2} \right ) \right )=1,7\cdot \left ( \cos\left ( \frac{\theta }{2} \right )+\frac{\sin(\beta )}{\cos(\beta )}\cdot \sin\left ( \frac{\theta }{2} \right ) \right )=1,7$

Svar #5
04. oktober 2014 af caco52 (Slettet)

Ok - tak for det ! Men jeg bliver ikke klogere af det... Jeg skal jo finde teta...og kan ikke rigtigt se hvordan jeg finder den - med den ligning. Der er vel een løsning...

Brugbart svar (0)

Svar #6
04. oktober 2014 af mathon

det var sjusk
$0,74\cdot \sin\left ( \frac{\theta}{2} \right )=1,7-1,7\cdot \cos\left ( \frac{\theta}{2} \right )$

$1,7\cdot \cos\left ( \frac{\theta}{2} \right )+0,74\cdot \sin\left ( \frac{\theta }{2} \right )=1,7$

sæt
$\frac{0,74}{1,7} =\frac{{\sin\beta }}{\cos(\beta )}=\tan(\beta )$

hvoraf
$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1,7\cdot \left ( \cos\left ( \frac{\theta }{2} \right )+\frac{0,74}{1,7}\cdot \sin\left ( \frac{\theta }{2} \right ) \right )=1,7\cdot \left ( \cos\left ( \frac{\theta }{2} \right )+\frac{\sin(\beta )}{\cos(\beta )}\cdot \sin\left ( \frac{\theta }{2} \right ) \right )=1,7$

$\frac{1,7}{\cos(\beta )}\cdot \left ( \cos\left ( \frac{\theta }{2} \right )\cdot \cos(\beta )+\sin\left ( \frac{\theta }{2} \right )\cdot \sin(\beta ) \right )=1,7$

$\sqrt{1,7^2+0,74^2}\cdot \cos\left ( \frac{\theta }{2} -\beta \right )=1,7$

$\cos\left ( \frac{1 }{2}\theta -\beta \right )=\frac{1,7}{\sqrt{1,7^2+0,74^2}}=0,916898$

$\theta =2\cdot \left (\cos^{-1}\left (0,916898 \right )+0,410557 \right )+p\cdot 4\pi$

$\theta =\left\{\begin{matrix} 1,64223+p\cdot 4\pi\\ 4,64096+p\cdot 4\pi \end{matrix}\right.$

da
$\cos(x)=\cos(2\pi -x)$

Svar #7
04. oktober 2014 af caco52 (Slettet)

Ih du milde - nogen udregninger - for at løse den...

Hvad gør du fra cos(.5teta - beta) = .916898 til resultatet teta og hvad er p ? Er teta i radianer ?

Brugbart svar (0)

Svar #8
04. oktober 2014 af mathon

anvendt er:

                        $a\cdot \cos(x)+b\cdot \sin(x)$
     med
                        $\tan(\beta )=\frac{\sin(\beta )}{\cos(\beta )}$
    giver
                       $a\cdot\left ( \cos(x)+\frac{b}{a}\cdot \sin(x) \right )=a\cdot\left ( \cos(x)+\frac{\sin(\beta )}{\cos(\beta )}\cdot \sin(x) \right )=$

$\frac{a}{\cos(\beta )}\cdot \left ( \cos(x)\cdot \cos(\beta )+\sin(x)\cdot \sin(\beta ) \right )=a\cdot \sqrt{1+\tan^2(\beta )}\cdot \left ( \cos\left ( x-\beta \right ) \right )=$

$a\cdot \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\cdot \cos(x-\beta )=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \cos(x-\beta )$

Svar #9
04. oktober 2014 af caco52 (Slettet)

Tak for hjælpen - du er vist en rigtig matematiker der bare kan alle formlerne.

Ligningen var bare et fra et cirkelafsnit...hvor teta skulle findes - for at finde et areal..

Brugbart svar (0)

Svar #10
04. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

#9

Det tyder så på, at 1,7 er cirklens radius. Hvad er de 0,74 ?

Ligningen 0,74·sin(x) = 1,7·(1 - cos(x)) , hvor x = θ/2 , kan løses forholdsvis simpelt ved at kvadrere ligningen:

0,74²·sin²(x) = 1,7²·(1 - 2cos(x) + cos²(x)) , dvs.

0,74²·(1 - cos²(x)) = 1,7²·(1 - 2cos(x) + cos²(x)) ,

så man når frem til en 2.-gradsligning i cos(x):

(1,7² + 0,74²)·cos²(x) - 2·1,7²·cos(x) + 1,7² - 0,74² = 0

der har den ene realistiske løsning cos(x) = 0,681406 , hvoraf x = θ/2 = 47,046º .

Den anden løsning, cos(x) = 1 , svarer til x = θ/2 = 0 , der ikke vil være en realistisk løsning i den betragtede opgave.

Svar #11
04. oktober 2014 af caco52 (Slettet)

Tak for det svar - det er betydeligt nemmere at forstå !

r = 1.7/( 2*sin(teta/2))

Brugbart svar (0)

Svar #12
05. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

#11

Det tyder så på, at 1,7 er kordens længde. Men hvor kommer så de 0,74 fra?

Svar #13
05. oktober 2014 af caco52 (Slettet)

1.7 er kordens længde. De 0.74 er 2 gange pilhøjden.

Brugbart svar (0)

Svar #14
05. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

#13

Hvis k er kordens længde og p er pilhøjden, har man

(r-p)² + (k/2)² = r²

og dermed

r = (p² + (k/2)²) / (2p)

= p/2 + k²/(8p)

= (0,74/4) + 1,7²/(4·0,74) = 1,161351

og dermed er

sin(θ/2) = (k/2)/r = 2·(2p)·k / ((2p)² + k²)

= 2·0,74·1,7 / (0,74² + 1,7²)

= 0,731906

hvoraf

θ/2 = sin^-1(0,731906) = 47,046º .

Matematik

Skriv et svar til: sin og cos i samme ligning