Substitutionsmetode ved optimization

Man kan jo så bestemme løsningsmængden L_g for bibetingelsen  g(x,y) ≤ c og så finde maksimum for f(x,y) på mængden L_g . Man bestemmer stationære punkter for f(x,y) i det indre af L_g og undersøger f(x,y) særskilt på randen af L_g .

Men når man bestemmer stationære punkter anvender man vel ikke substitutionsmetoden længere, som i det hele taget går ud på at omdanne til en funktion af en variabel?

Kan man argumentere således, at  netop opfyldes af maksimumspunktet , i det er af formen hvor både ?

Eksempelvis hvis vi har funktionen

og betingelsen

hvor x,y antages at være større end eller lig 0.

Bare lige et eksempel jeg fandt på. Her vil maksimalpunktet vel ligge der hvor ? Dette gælder selvfølgelig ikke generelt, men er vel oplagt her, i det stigende x,y resulterer i stigende f(x,y)? Kan man se det, kan man vel godt anvende substitutionsmetoden som vi almindeligt kender det?

#2

I det eksempel søges så maksimum for funktionen f(x,y) = xy²/2 på polygonområdet begrænset af de to koordinatakser samt linien med ligningen y = 100 - x . Funktionen f(x,y) har ingen stationære punkter i polygonområdets indre, og funktionen er konstant lig med 0 på koordinatakserne, så det er klart, at funktionens maksimum antages et sted på polygonsiden med ligningen y = 100 - x.

At maksimum her ligger på linien y = 100 - x, skyldes, løst sagt, at gradienten for f(x,y) peger ud mod denne linie.

Bemærk også, at der i alt er tre bibetingelser her, nemlig

        x + y ≤ 100
        x ≥ 0
        y ≥ 0

Hvis det i stedet drejede sig om at finde minimum for f(x,y) , var det siderne på de to koordinatakser, der ville være relevante.