Matematik
Differentialligning - løsning til ligningen
Hej! Jeg har virkelig brug for hjælp. Jeg sidder med følgende opgave, og jeg er gået i stå.
Der er givet en differentialligning: dy/dx=1/xy x > 0
a) Bestem den løsning til ligningen, hvis graf går gennem P(1,-2)
b) Bestem en ligning for tangenten til løsningskurven i punktet P.
Opgave a ville jeg egentligt løse vha substition ved integration, men da jeg prøvede dette gik det helt galt....
Er der nogen der kan hjælpe???
Svar #2
04. november 2014 af johankristensen111 (Slettet)
Tak! Har du et hint til, hvordan jeg skal fortsætte?
Svar #4
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#3
Ja. Differentialligningen er separerbar. Beregn nu de to integraler i #1.
Svar #6
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#5
Ja, med tilføjelsen af leddet +c på højre side.
Svar #7
04. november 2014 af johankristensen111 (Slettet)
Hovsa ja :-)
Skal punkterne så bare indsættes?
Svar #8
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#7
Ja. Oplysningen om punktet giver jo så en ligning til bestemmelse af c for den løsning, hvis graf går gennem punktet P.
Svar #10
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#9
Nej, det er ikke korrekt. Man har
(1/2)·y2 = ln(x) + c
(1/2)·(-2)2 = ln(1) + c
Svar #13
04. november 2014 af johankristensen111 (Slettet)
Løsningen til ligningen er altså 1/2y2=ln(x)+2 ??? :-)
Svar #14
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#13
Nej, det er ikke korrekt.
Med c = 2, har man
y2 = 2·ln(x) + 4
og da y(1) = -2 , har man så
y = -√(ln(x2) + 4) , x > e-2 .
Svar #16
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#15
Der skal jo gælde, at 2·ln(x) + 4 > 0 , således at kvadratroden kan uddrages.
Svar #17
04. november 2014 af johankristensen111 (Slettet)
Aha ja!
Så: y=-√(ln(x2)+4 , x > e-2
er det løsningen til ligningen?
Svar #18
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#17
Ja, det er svaret på spm. a). Der skal en afsluttende parentes efter +4 .
Svar #19
04. november 2014 af johankristensen111 (Slettet)
Ja selvfølgelig, godt du er opmærksom - tak! :)
Hvordan starter jeg spm b) ?
Svar #20
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#19
b) Indsæt x = 1, y = f(1) = -2 i differentialligningen og beregn dy/dx = f '(1) . Indsæt de beregnede talværdier i tangentligningen
y = f '(x0) · (x - x0) + f(x0)
med x0 = 1 .