Matematik

Løsning af differentialligning, ikke umiddelbart i panserformel

06. november 2014 af Bob0 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Goddag

Generelt når jeg skal løse differentialligninger, har jeg fået dem på formen(panserformel):

y'(t)+p(t)y(t) = q(t)

Hvor den fuldstændige løsning, så er givet ved:

$y(t) = e^{-P(t)}\int e^{P(t)}q(t) dt$

Jeg har fået følgende differentialligning:

${y(t)}' = \frac{3 t^2+33}{y(t)}$

Jeg har svært ved at se, hvordan jeg løser den i hånden. Umiddelbart ville jeg tro, at jeg skulle bruge algebra til at få den på ovenstående panserformel. Nogen der kan hjælpe mig på vej her?

Løsningen skulle i sidste ende være

$y(t) = \sqrt{2t^3+66t+4}$

Hvor y(0) = 2 opfyldes.

På forhånd tak :)

Brugbart svar (1)

Svar #1
06. november 2014 af mathon

Det er godt, at du har svært ved at se, at

$y{\, }'(t) = \frac{3 t^2+33}{y(t)}$ kan løses med panserformlen, for det kan den ikke.

Separer i stedet de variable:

$y\, dy=(3t^2+33)\, dt$ og integrer på begge sider

$\int y\, dy=\int (3t^2+33)\, dt$

$\frac{1}{2}y^2=t^3+33t+\frac{1}{2}C$

                          y^2(t)=2t^3+66t+C
                                         $(y(0))^2=2^2=2\cdot 0^3+66\cdot 0+C$
                                         C=4

$y(t)= \sqrt{2t^3+66t+4}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
06. november 2014 af PeterValberg

hvis

y^2(t)=2t^3+66t+4

(en hyperbel, ikke?)

er y(t) så ikke

$y(t)=\pm\sqrt{2t^3+66t+4}$

eller har jeg misforstået noget?

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. november 2014 af mathon

$y(t)=-\sqrt{2t^3+66t+4}$

          opfylder ikke
                    y(0)=2

Svar #4
06. november 2014 af Bob0 (Slettet)

Mange tak for svarene, jeg havde selv lige fundet ud af at jeg skulle separere variablerne på hver sin side nu, vha. Maple's odeadvisor funktion.

Mange tak for hjælpen mathon, jeg har lidt svært ved at se hvordan y(0) = 2 skulle indsættes i formlen med c isoleret, men det kan jeg helt klart nu hvis jeg kigger lidt nærmere på det du har skrevet :-)

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. november 2014 af PeterValberg

#3 ja, klart, - det havde jeg lige overset

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Svar #6
06. november 2014 af Bob0 (Slettet)

Jeg har dog lidt svært ved at se hvor 1/2 C kommer fra, da du integrerer?

Jeg har brugt 2*C istedet, bare lidt nysgerrig hvordan 1/2*C kommer frem.

Brugbart svar (0)

Svar #7
06. november 2014 af PeterValberg

pga den generelle regel

$\int{p\cdot x^n\,dx}=\frac{p}{n+1}\cdot x^{n+1}+c$

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Svar #8
06. november 2014 af Bob0 (Slettet)

men nu står der jo plus, og ikke gange, med 3t^2 + 33 ?

Brugbart svar (0)

Svar #9
06. november 2014 af PeterValberg

$\int{\left(3t^2+33 \right )dt}=$

$\int{\left(3t^2+33t^0 \right )dt}=$

$\frac{3}{2+1}\cdot t^{2+1}+\frac{33}{0+1}\cdot t^{0+1}+c=$

t^3+33t+c

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Svar #10
06. november 2014 af Bob0 (Slettet)

Ok så man kan godt bruge den regel selvom det er plus. Men jeg forstår stadig ikke hvordan 1/2 koefficenten kommer foran c ? Det er ikke strengt nødvendigt for mig at vide for at løse det, jeg er bare lidt nysgerrig på hvor 1/2 kommer fra.

Brugbart svar (0)

Svar #11
06. november 2014 af PeterValberg

$\int{y\,dy}=\frac{1}{1+1}\cdot y^{1+1}=\frac12y^2+c$

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (1)

Svar #12
06. november 2014 af mathon

Den arbitrære konstant kan du skrive som du vil.
I det her tilfælde var det praktisk med $\tfrac{1}{2}C$ , da jeg havde indset, at jeg efterfølgende ville multiplicere med 2.
Andet er der ikke i det.

Svar #13
06. november 2014 af Bob0 (Slettet)

Ok tak, jeg havde tanken om det var noget i den stil. Godt trick :-)

Skriv et svar til: Løsning af differentialligning, ikke umiddelbart i panserformel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.