Matematik

Logistisk vækst

10. december 2014 af IAMANIDIOT - Niveau: A-niveau

Hej venner! Jeg skriver SRP og empidemi og skal derved bruge logistisk vækst, men jeg forstår det ikke helt, og jeg ved ikke hvordan jeg skal bevise det. Nogen som har lavet det før eller ved hvordan man gør?

Mit spørgsmpl lyder således:

Redegør for, hvordan en epidemi kan beskrives matematisk ved hjælp af logistisk vækst. Bevis, at den
fuldstændige løsning til den logistiske ligning dy/dx=y(b-ay) hvor a og b er positive reelle tal, er y=f(x)=0 og y=f(x)= (b/a)/1+k*e^bx

Tak.

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. december 2014 af mathon

…angående udledningen:

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=y\cdot (b-ay)$ af bekvemmelighed
sættes
$y=\frac{1}{u}\Leftrightarrow u=\mathbf{\color{Red} \frac{1}{y}}$

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=-\frac{1}{u^2}\cdot u{}'=\frac{1}{u}\cdot \left ( b-\frac{a}{u} \right )$

$u{\, }'=-\left ( bu-a \right )$

$u{\, }'=a-bu$

$u{\, }'+bu=a$ som løst med panserformlen
giver
$u=e^{-bx}\cdot \int_0 a\cdot e^{bx}dx+C_1\cdot e^{-bx}$

$u=e^{-bx}\cdot \frac{a}{b}\cdot e^{bx}+C_1e^{-bx}$

$u=\frac{a}{b}+C_1e^{-bx}$

$\mathbf{\color{Red} \frac{1}{y}}=\frac{a}{b}+C_1e^{-bx}$

$y=\frac{1}{\frac{a}{b}+C_1e^{-bx}}$

$y=\frac{\frac{b}{a}}{1+Ce^{-bx}}\; \; \; \; \; \; \; \; \; C=C_1\cdot \frac{b}{a}$

............

$\int _0....dx$ betyder stamfunktionen med integrationskonstanten 0

Skriv et svar til: Logistisk vækst

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.