Matematik

Differentialligning matematik A opgave.

16. maj 2015 af antonzh (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej jeg sidder med en matematik oppave, som jeg ikke forstår. Jeg forstår ikke grundkernen af opgaven, udover at jeg ved at dN/dt er væksthastigheden. Er der nogle der kan give forklaringer på opgaven?

"I en model betegner N antal traner i en tranebestand i Hokkaido-området i Japan. I modellen antages det, at N som funktion af tiden er en løsning til differential- ligningen

dN/dt=0,00029N*(1500-N), hvor t er antal år efter 1975.

a) Bestem tranebestandens væksthastighed, da der var 500 traner i bestanden. Det oplyses, at tranebestanden i 1975 var 194 traner.

b) Bestem en forskrift for N.

c) Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden for tranebestanden var størst. "

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. maj 2015 af mathon

a)
for N=500
$\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}=0{,}00029\cdot 500\cdot (1500-500)$

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. maj 2015 af mathon

b)
          Løsningen til
                                      $\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}=0{,}00029\cdot N\cdot (1500-N)$
          er
                                      $N(t)=\frac{1500}{1+C\cdot e^{-0,00029\cdot 1500\cdot t}}$

                                      $N(t)=\frac{1500}{1+C\cdot e^{-0,435\cdot t}}$
          og
                                      $N(0)=\frac{1500}{1+C\cdot e^{-0,435\cdot 0}}=194$       hvoraf C kan beregnes.

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. maj 2015 af mathon

c)
benyt at
$\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}=0{,}00029\cdot N\cdot (1500-N)$

er et andengradspolynomium i t med nulpunkterne 0 og 1500
og toppunkt

                                    $T=\left ( \frac{1500}{2};N\left ( \frac{1500}{2} \right ) \right )$
        og parablen med nedadvendte grene
        dvs med
                            $N_{max}=\frac{1500}{2}$
        så
                                  $\frac{1500}{2}=\frac{1500}{1+C\cdot e^{-0,435\cdot t}}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. maj 2015 af mathon

korrektion:
     #3 i fjerde og sjette linje:

     …er et andengradspolynomium i N med nulpunkterne 0 og 1500
     og toppunkt
                                     $T=\left ( \frac{1500}{2}\, ;\, 163{,}125) \right )$
   og parablen med nedadvendte grene

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. maj 2015 af mathon

Når $N=\frac{1500}{2}$
er
$N(t)=\frac{1500}{2}=\frac{1500}{1+Ce^{-0,435\cdot t}}$
hvoraf
$1+Ce^{-0,435\cdot t}=2$

$Ce^{-0,435\cdot t}=1$

$e^{-0,435\cdot t}=\frac{1}{C}$

$e^{0,435\cdot t}=C$

$0{,}435\cdot t=\ln(C)$

$t=\frac{\ln(C)}{0{,}435}$

konklusion:
Til tiden $t=\frac{\ln(C)}{0{,}435}$ er $\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}$ maksimal

Svar #6
17. maj 2015 af antonzh (Slettet)

Fantastisk! Tusind tak!

Skriv et svar til: Differentialligning matematik A opgave.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.