Matematik

Bevis af toppunktsformlen UDEN differentialregning

08. juni 2015 af Alberteph (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej :)

Jeg sidder og leder efter et godt, overskueligt bevis af toppunktformlen for en parabel, men løber altid ind i differentialregning i beviset (hvilket jeg ikke har haft om endnu...)

Hvis nogen har en god forklaring, eller et link med en, ville det være dejligt hvis i ville hjælpe! :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. juni 2015 af hstreg (Slettet)

Jeg kan give dig to hints til et bevis, der ikke gør brug af differentialregningen.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------

1) Observer at x-værdien til topunktet for en parbel på formen y = ax² + bx + c ikke er påvirket (dvs. er invariant) overfor en translation/forskydning i y-retningen. Hvorfor x-værdien til toppunktet for ovenfor givet parabel er sammenfaldende med x-værdien til toppunktet for følgende parabel y = ax² + bx.

2) Observer at der om diskriminanten d til parablen y = ax² + bx altid gælder at d ≥ 0 for alle b. Hvorfor den altid har mindst en rod.
Parablen har én rod hvis, og kun hvis, b = 0 og i dette tilfælde vil roden være toppunktet.
Er d > 0 har parablen altid to rødder og x-værdien til toppunktet ville være præcist midt imellem disse to rødder, idet en parabel altid er symetrisk omkring dens toppunkt.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Skriv endelig hvis du har spørgsmål til de to hints.

Brugbart svar (0)

Svar #2
08. juni 2015 af fosfor (Slettet)

Hvis du har vist at de to rådder er

$\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{-2a}\text{ og } \frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{-2a}$

så for du formlen ved at tage gennemsnittet af disse.

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. juni 2015 af hstreg (Slettet)

fosfor ; du bliver nød tid at bruge at x-væriden/stedet til toppunktet for en parabel er invariant overfor en translation langs y-aksens retning. Hvorfor problemet kan reduceres til at betragte en parabel på formen y = ax² + bx, ellers er du ikke garanteret at diskriminanten er ikke-negativ og dermed ikke givet eksistensen af mindst én reel rod.

Derefter bliver du nød til at betragte tilfældet hvor
1) diskriminanten forsvinder/er nul
2) diskriminanten er positiv
for at havde udtømt problemet og dermed kan kalde det et bevis.

Svar #4
08. juni 2015 af Alberteph (Slettet)

Tusind tusind tak for indsatsen - men jeg kan ikke helt følge med på alle de flotte begreber.

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. juni 2015 af hstreg (Slettet)

Hvilke af begreberne volder dig besvær ?

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. juni 2015 af hstreg (Slettet)

Jeg har netop fundet dette dokument (se understående link) her inde på studieportalen. Det indeholder et fuldt udskrevet og pædagoisk bevis for toppunktsformlen, uden at brug af differentialregningen.

https://www.studieportalen.dk/Opgaver/download/23281

Brugbart svar (1)

Svar #7
08. juni 2015 af mathon

f(x)=y=ax^2+bx+c

$y=ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}\right)^2+c$

$y=a\left(\left (x+\frac{b}{2a} \right )^2-\frac{b^2}{4a^2}\right)^2+\frac{4ac}{4a}$

$y=a\left (x+\frac{b}{2a} \right )^2-\frac{b^2}{4a}\right)+\frac{4ac}{4a}$

$y=a\left (x+\frac{b}{2a} \right )^2+\frac{-b^2+4ac}{4a}\right)$

$y=a\left (x+\frac{b}{2a} \right )^2+\frac{-d}{4a}\right)$

toppunkt:
$T=\left (\frac{ -b}{2a} ;\frac{-d}{4a}\right )$

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. juni 2015 af hstreg (Slettet)

mathon ; Jeg forstår ikke hensigten/meningen med mange af dine svar. I stedet for hjælpe personen på ved til selv at indse hvordan hans problem løses, skriver du som oftes svaret fuldt ud og tit yderst upædagoisk. Og til tider også lige inden personen selv er ved at nå frem til svaret på næsten egenhånd.

Studier af indlæring viser at studerende først virkelig forstår stoffet når de selv kan se præcist hvor de fejler og hvorfor de fejler... det hjælper derfor dem ikke på i det langeløb, hvis du/vi blot peger på hvor det er galt. Men istedet skulle du/vi hjælpe dem til selv at indse hvor det er.

Dette er ikke første gang at nogen påpeger dette : https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1609991

Brugbart svar (1)

Svar #9
08. juni 2015 af mathon

#8
…dine "flotte" begreber, som de kaldes af #0, var som det blev udtrykt i #4

dvs den af dig valgte såkaldte pædagogiske håndsrækning rakte ikke særlig langt.
Derfor valgtes en anden angrebsvinkel, der førte i mål.

Studier af indlæring viser at studerende først virkelig forstår stoffet, når de selv kan se præcist hvor de
fejler.
Her kunne #0 ikke indse nogen fejl endsige overhovedet forstå, hvad du skrev.

Så din pædagogik ramte alt andet end plet denne gang.

At du så tilfældigvis kan råbe i kor med Smatty, som også synes at føle sin kompetance og faglige
stolthed anfægtet, hjælper jo ikke #0 ud over din uforståelighed.

Brugbart svar (0)

Svar #10
08. juni 2015 af hstreg (Slettet)

#9
Jeg kunne godt selv se at min pædagogik i svar #1 (på bagrund af post #4) ikke var velegnet for Alberteph. Det er også derfor at jeg skrev, som jeg gjorde i svar #5 og svar #6. Jeg viste ikke forud hvilken sprogbrug at Alberteph var bekendt med fra hendes A-niveau hold. Hvorfor jeg brugte det sprog og de begreber jeg selv husker anvendt i min gymnasie tid.

Jeg skrev ikke posten i #8 fordi jeg følte mig anfægtet af dit svar i #7. Jeg gjorde det, af den grund at jeg var i tvivl om hvorvidt Alberteph selv kan give et korrekt matematisk argument, som der ville føre hende fra dit andet sidste udtryk og til udtrykket for toppunktet (det er her jeg mener du var upædagiosk i din fremstilling). Ikke fordi jeg tvivler på om hvorvidt at Alberteph "forstår" dette skridt, men fordi jeg tvivler på hvorvidt hun kan forklare det i matematiske termer --- hvilket hun unægteligt ville få brug for i en mulig eksamens situation.

Nu hvor alt dette er sagt, vil jeg -- for at afslutte med en god stemning -- også lade dig vide at jeg beundre den store mængde af tid og arbejde du ialt har lagt inde på dette lektieforum.

mv.
hstreg

PS. Det er indholdet og undersøgelserne af denne afhandling jeg referere til i post #7

Brugbart svar (0)

Svar #11
08. juni 2015 af mathon

$y=a\left (x+\frac{b}{2a} \right )^2+\frac{-d}{4a}\right)\; \; \; \; \; a\neq 0$

        for a>0 er
                          $a\left (x+\frac{b}{2a} \right )^2\geq 0$
        dvs
                                  $y_{min}=\mathbf{\color{Red} 0}+\frac{-d}{4a}$
                                  $a\left (x+\frac{b}{2a} \right )^2= 0$     kræver $\mathbf{\color{Red} x=\frac{-b}{2a}}$

hvoraf
$T=\left ( \frac{-b}{2a};\frac{-d}{4a} \right )$

        for a<0 er
                          $a\left (x+\frac{b}{2a} \right )^2\leq 0$
        dvs
                                  $y_{max}=\mathbf{\color{Red} 0}+\frac{-d}{4a}$
                                  $a\left (x+\frac{b}{2a} \right )^2= 0$     kræver $\mathbf{\color{Red} x=\frac{-b}{2a}}$

hvoraf
$T=\left ( \frac{-b}{2a};\frac{-d}{4a} \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #12
27. juni 2015 af Stats

Ved et toppunkt T_x,y = (x,y_max)

er det specielle at til dette y_max kun eksistere ét x.

f(x) = ax² + bx + c
f(x₀) = ax₀² + bx₀ + c = y_max

to rødder:

x₁ = (-b - √d)/2a
x₂ = (-b + √d)/2a

Da symmetrien så:
x₀ = (x₂ - x₁)/2 + x₁= [(-b + √d)/2a] - [(-b - √d)/2a] = [(-b + √d)/2a] + [(b + √d)/2a] = 2√d/2a = √d/a

(√d/a)/2 = √d/2a

√d/2a + x₁ = √d/2a + (-b - √d)/2a = -b/2a

Dvs. at y_max kan nu findes ved at udregne f(x₀)

f(x₀) = a(-b/2a)² + b(-b/2a) + c = a(b²/4a²) + (-b²/2a) + c = ab²/4a - b²/2a + c

= ab²/4a² + (-b²·2a / 4a²) + (c·4a²/4a²) = (ab² - b²2a + c·4a²)/4a² =

[a(b² - 2b² + 4ac)]/4a² = (-b² + 4ac)/4a = -√d/4a

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (0)

Svar #13
27. juni 2015 af mathon

baggrundsviden:

                                  $y=ax^2+bx+c\; \; \; \; a\neq 0$
      er
                                  y=ax^2    parallelforskudt med parallelforskydningsvektor $\overrightarrow{p}=\begin{pmatrix} \frac{-b}{2a}\\ \frac{-d}{4a} \end{pmatrix}$

så
$(0;0) \curvearrowright\left ( \frac{-b}{2a};\frac{-d}{4a} \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #14
27. juni 2015 af mathon

#12
[a(b² - 2b² + 4ac)]/4a² = (-b² + 4ac)/4a = -d/4a

Brugbart svar (0)

Svar #15
27. juni 2015 af mathon

detaljer
se

Vedhæftet fil:Andengradsfunktioner.doc

Skriv et svar til: Bevis af toppunktsformlen UDEN differentialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.