Matematik

Bestemt integral og potensrække

28. oktober 2015 af hammer26 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har en potensrække

$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^{n-1}}*x^{n-1}$ , x tilhører intervallet ]-2;2[

Jeg skal vise at for |x|<2 er

$\int_{0}^{x}f(t)dt = \frac{2x}{2-x}$

Hvis jeg integrerer f(x) som f(t) får jeg $\left [ \frac{t^{n}}{2^{n-1}} \right ]_{0}^{x}$ men det er jo ikke i nærheden af det det skal være !!!?

Brugbart svar (1)

Svar #1
28. oktober 2015 af peter lind

Du får ∫₀^xf(t)dt = ∑xⁿ/2^n-1 = x∑(½x)^n-1

Svar #2
28. oktober 2015 af hammer26 (Slettet)

Okay, er det fordi at xⁿ/2^n-1 > n/2^n-1*x^n-1 eller hvordan kom du frem til det ?

Det sidste kan jeg så godt forstå da x∑(½x)^n-1 = 2/2-x = 2x/2-x

Brugbart svar (1)

Svar #3
28. oktober 2015 af Therk

Du kan bruge Fubini. Find først

$\underbrace{\sum_{n=1}^\infty \int_0^x \frac n{2^{n-1}}t^{n-1}\, \mathrm dt}_{\text{R\ae kkef\o lgen \ae ndret}} =\sum_{n=1}^\infty \frac n{2^{n-1}} \int_0^x t^{n-1}\, \mathrm dt = \sum_{n=1}^\infty \frac n{2^{n-1}} \biggl[ \frac 1n t^n\biggr]_{t=0}^{t=x}$

Herfra brug tricket i #1:

$\frac{x^n}{2^{n-1}} = \frac{x \cdot x^{n-1}}{2^{n-1}} = x\left(\frac{x}{2}\right)^{n-1}$

Benyt så at

$\sum_{n=1}^\infty a^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty a^n$

og så har du din geometriske række for hvilken du har et lukket udtryk for. Da resultatet er endeligt, gælder der ved Fubini at

$\int_0^x \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^{n-1}}t^{n-1} \, \mathrm dt = \sum_{n=1}^\infty \frac n{2^{n-1}} \int_0^x t^{n-1}\, \mathrm dt$

altså at vi må ombytte integrationsordnen. Resultatet følger deraf.

Brugbart svar (1)

Svar #4
28. oktober 2015 af peter lind

Du har jo selv integreret udtrykket i sumtegnet. Det har jeg så bare erstattet det med

Svar #5
28. oktober 2015 af hammer26 (Slettet)

Mange tak for hjælpen

Skriv et svar til: Bestemt integral og potensrække

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.