Matematik

Hvad er rækken?

14. november 2015 af Linda95 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej jeg har brugt ækivalentskriteriet på denne række, men kan ikke konkludere noget ud fra den, da jeg får et resultat på maple som siger 'undefined'.

Hvad vil i bruge til at undersøge rækken? Jeg har lidt svært ved sammenligningskriteriet.

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2015-11-14 kl. 11.08.28.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. november 2015 af Therk

Hint:

$x \mapsto \cos(x) \in [-1,1]$

dvs.

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{\cos(n)}{n^4} \leq \sum_{n = 1}^\infty \left|\frac{\cos(n)}{n^4} \right|\leq \sum_ {n = 1}^\infty \frac 1{n^4}$

Er den sidste sum konvergent?

Svar #2
14. november 2015 af Linda95 (Slettet)

Den sidste sum er konvergent. Når den sidste sum, som vi sammenligner med er konvergent, og større end vores række kan man hermed konkludere, at rækken er absolut konvergent i følge sammenligningskriteriet. Er det rigtigt forstået?

hvordan ved vi, at cos(x) har en grænseværdi mellem [-1;1] ?

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. november 2015 af Therk

Ja, det er rigtigt. Dog, når du bruger sammenligningskriteriet er det nok at

$\frac{\cos(n)}{n^4} \leq \frac1{n^4}$

for alle .

Evt. uddyb med hvorfor den sidste sum er konvergent.

Cosinus har ingen grænseværdi for n naturligt tal, men vi ved at funktionens værdimængde er [-1,1]:

$\cos(x) \in [-1,1] \quad \forall x \in \mathbb R$

Svar #4
14. november 2015 af Linda95 (Slettet)

Den række vi sammenligner med er konvergent idet den har en grænseværdi som er 1/90 * pi^4

Er det rigtigt?

- Hvorfor er rækken så absolut konvergent og ikke bare konvergent? Jeg tror ikke jeg har forstået dette. Har svært ved at finde ud af hvornår rækken er absolut konvergent. Er der en trick man kan anvende?

Må jeg spørge dig om hvordan vi ved, at 1/n^4 er større end rækken cos(n)/n^4 ?

Hvis man generelt bliver i tvivl om hvilken række der er størst er der så en metode man kan gøre bruge af for at tjekke det? Evt. på maple?

Brugbart svar (0)

Svar #5
15. november 2015 af Therk

Ja, det er rigtigt. Hvor har du det resultat fra? Evt. regn det ud. Hint: Geometrisk række.

En række er absolut konvergent hvis den rækken med absolutte værdier af leddene konvergerer.

Altså formelt: Rækken $\inline \sum_{n = 1}^\infty a_n$ konvergerer absolut, hvis $\inline \sum_{n = 1}^\infty \lvert a_n \rvert < \infty$

Tricket er altså at tage den absolutte værdi af leddene ;)

Må jeg spørge dig om hvordan vi ved, at 1/n^4 er større end rækken cos(n)/n^4 ?

Så forholdet der får vi fordi vi ved at cosinusfunktionen altid er mindre end 1! Den største værdi cosinus antager er når argumentet er NUL (eller en værdi som går op i $2\pi$ ). Derfor er og derfra giver det vel sig selv at så også og så ellers blive ved med at dividere hver side med n indtil vi har det ønskede udtryk. (evt. erstatte x med n, da ovenstående gælder for alle x (og derfor specielt n)).

Hvis du stadig ikke er overbevist, så plot cosinus-funktionen, fx med Maple:

plot(cos(x),x);

Hvis man generelt bliver i tvivl om hvilken række der er størst er der så en metode man kan gøre bruge af for at tjekke det? Evt. på maple?

Du kan altid forsøge at bakke dine resultater op med Maple. Maple har fx rigtig godt styr på at genkende geometriske rækker og kan derfor nemt udregne dem. Jeg gætter fx på at du fandt summens værdi til 1/90 * pi^4 vha. Maple. Men du kan aldrig argumentere vha. Maple, så hvis du fik værdien derfra skal du enten selv regne det ud eller referere til et tidligere kursus/sted, hvor du har regnet det (medmindre det anses trivielt i dit nuværende kursus).

Skriv et svar til: Hvad er rækken?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.