Matematik

Konvergens af række

14. november 2015 af Møø (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Kan jeg få hjælp til følgende

Betragt rækken

$\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{n}\frac{n*b+a}{n}$

Bestem helt generelt de værdier for $a\geq 0$ og $b\geq 0$ for hvilke rækken er konvergent

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. november 2015 af peter lind

se på grænseværdien af |a_n| for n->∞

Svar #2
15. november 2015 af Møø (Slettet)

Jeg har sagt, at for a=b=0 har vi

a_n=(-1)ⁿ*0=0

Derfor er den konvergent for a=b=0.

For a>=0 og b>=0:

$a_{n}=(-1)^{n}\frac{nb+a}{n} = (-1)^{n}*(b-\frac{a}{n}) \rightarrow \pm b$ for $n \rightarrow \infty$

Da a_n ikke går mod 0 for n -> infinity, er rækken divergent for a>=0 og b>=0.

Er det korrekt, eller er jeg fuldstændig lost?

Brugbart svar (0)

Svar #3
15. november 2015 af peter lind

Du er inde på det helt rigtige.

Det er korrekt at for b ≠ 0 er rækken divergent.; for b≠0 har du rækken

a∑(-1)ⁿ/n og du skal så undersøge om den er konvergent for a≠0

Svar #4
15. november 2015 af Møø (Slettet)

Mhh.. er der ikke en fejl i det du skriver, eller er det bare mig.. mener du ikke at for b=0 har jeg den der række?

Men det du prøver at sige, er det, at jeg skal tjekke for

1. a=b=0

2. a≠0, b=0

3. a=0, b≠0

4. a≠0, b≠0

har prøvet lidt:

Hvis vi siger, at b = 0 og a ≠ 0:

$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{a}{n} = a\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n}$

Vi ved, at 1/n er divergent, og ifølge leibniz kriteriet er rækken så divergent.

Hvis vi siger at a = 0 og b ≠ 0:

$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{bn}{n} = b\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}$

som er divergent, da a_n=(-1)ⁿgår ikke mod 0 for n -> uendelig

dvs. vi har:

1. a=b=0 - konvergent

2. a≠0, b=0 - divergent

3. a=0, b≠0 - divergent

4. a≠0, b≠0 - divergent

Svar #5
15. november 2015 af Møø (Slettet)

nå nej, har fundet en fejl.
for a≠0,b=0 er rækken konvergent, da

$a\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{1}{n}$

er konvergent ifølge leibniz kriteriet

Brugbart svar (0)

Svar #6
15. november 2015 af peter lind

#4 Du har ret i at der skal stå b=0

Når b≠0 er rækken divergent uafhængig af a, så du behøver kun at tjekke for b=0. Af dit resultat i #5 fremgår som du skriver at rækken er konvergent for b = 0 for alle værdier af a

Skriv et svar til: Konvergens af række

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.