Matematik

Basis for egenrummet! Hjælp modtages med kyshånd!

11. januar 2016 af blaky158 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle. Jeg sidder med et eksempel fra bogen, hvor jeg desværre ikke helt forstår, hvordan de kommer frem til basis for egenrummet, som desværre er det sidste led, egenvektorerne, som er svaret.

I opgaven er det givet:

En lineær afbildning: $f:\mathbb{R} ^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ er gived ved matricen: $\bigl(\begin{smallmatrix} 5 & 7\\ -2 & -4 \end{smallmatrix}\bigr)$

Derefter er der udregnet det karakteristiske polynomium til at give: $\lambda ^2-\lambda -6$ hvor rødderne så er fundet til at være $\lambda =3 og \lambda =-2$

Vi skal så løse ligningen:

$(A-\lambda E)X=0$ hvor A, E, X og 0 alle er vektorer.

Ved at opskrive matricen får vi så for $\lambda$ =-2:

$\begin{bmatrix} 7 & 7\\ -2& -2 \end{bmatrix}$
og efter omformering til trappematricen ved rækkeoperationer får vi:

$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0& 0 \end{bmatrix}$
Dernæst står der i eksemplet, at basis for egenrummet $V_{-2}$ er:

$\begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}$
Og det er dette jeg ikke forstår, hvordan de bare aflæser dette. Jeg har givet jer al den information jeg selv er givet. Længere nede i eksemplet gøres det samme, men bare for $\lambda =3$ hvilket ændrer matricerne og også basis.

Kort sagt: Hvordan aflæser jeg basis hurtigt? Kunne ikke finde noget i bogen. :(

Svar #1
11. januar 2016 af blaky158

Er det måske at tage den øverste værdi af søjlerne, men tage den negative til den anden søjle??

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. januar 2016 af SådanDa

Egenrummet er jo nulrummet N(A-λE).

Så du skal altså have alle de løsningerne til:

$\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0& 0 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$ .

Altså skalder gælde at:

$x_1+x_2=0 \iff x_1=-x_2$ . Så løsninger har altså formen

$\begin{pmatrix} x\\ -x \end{pmatrix}$ , hvilket jo lige præcis er alle linearkombinationer af vektoren $\begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}$ , som derfor er en basis for egenrummet. :)

Skriv et svar til: Basis for egenrummet! Hjælp modtages med kyshånd!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.