Matematik

Trigonomisk funktion

23. februar 2016 af Christian1409 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hvordan løser jeg en trigonomisk ligning i et løsningsinterval?

Se vedhæftede billede.

Vedhæftet fil: trigo.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. februar 2016 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
23. februar 2016 af SuneChr

Nu benyttes der ikke samme værktøj for alle.
Men du må kunne indpasse dette faktum:
Du har fundet en vinkel (4x) i 1. kvadrant. Dermed også vinklen x.
Der gælder så, at vinklen (360º - 4x) har den samme cos værdi som (4x)
Find da også den vinkel.

Brugbart svar (0)

Svar #3
23. februar 2016 af mathon

Generelle løsninger:

$\cos(4x)=\cos\left(4\left(x_o+p\cdot \tfrac{\pi }{2}\right)\right)=0{,}4\; \; \; \; \; \; p\in\mathbb{Z}$

Løsninger i intervallet $\left [ 0\, ;2\pi \right ]$

$x=x_o+p\cdot \frac{\pi }{2}\; \; \; \; \; p\in\{0,1,2,3\}$

$x=\left\{\begin{matrix} 0{,}28982\\ 1{,}86062 \\ 3{,}43141 \\ 5{,}00221 \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. februar 2016 af Soeffi

#0. De generelle løsninger skæringerne mellem kurverne. To skæringspunkter er vist. De øvrige fremkommer ved parallelforskydning med p·π/2 (p ∈ Z) langs x-aksen.

Vedhæftet fil:Untitled.png

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. februar 2016 af SuneChr

I # 3 mangler der endnu fire løsninger:
x = 2π - 0,2898198702 - p^π/₂ p = 0, 1, 2, 3

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. februar 2016 af mathon

som tilføjes her
efter påpegning i #5:
$2\pi -\left\{\begin{matrix} 0{,}28982\\ 1{,}86062 \\ 3{,}43141 \\ 5{,}00221 \end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} 5{,}99337\\ 4{,}42257 \\ 2{,}85177 \\ 1{,}28098 \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. februar 2016 af Soeffi

#4

a) Den generelle løsning kan skrives (i radianer): cos(4x) = 0,4 <=> 4x = ± cos^-1(0,4) + p·2π , p ∈ Z <=>
x = ± cos^-1(0,4)/4 + p·2π/4 , p ∈ Z <=> x = ± 0,290 + p·π/2, p ∈ Z.

Det bemærkes, at ligningen cos(y) = 0,4 har løsningen cos^-1(0,4) i intervallet [0;π], der er det interval som cos^-1(x) er defineret i. Man ved, at y = -cos(0,4) også er en løsning, da cosinus er en lige funktion, og dermed har man samtlige løsninger i intervallet [-π;π]. Samtlige løsninger i intervallet ]-∞;∞[ fås ved at lægge p·2π (p ∈ Z) til disse løsninger. Dvs. samtlige løsninger til cos(y) = 0,4 er y = ± cos^-1(0,4) + p·2π. Hernæst indsætter man y = 4x og får resultatet ovenfor.

b) Løsningerne i [0;2π] findes ved at tage den generelle løsning x = ± 0,290 + p·π/2, p ∈ Z og finde de p, der giver værdier i det ønskede interval. Man får:

0 < - 0,290 + p·π/2 < 2π, 0 < 0,290 + p·π/2 < 2π. =>

0,290 < p·π/2 < 2π + 0,290, - 0,290 < p·π/2 < 2π. - 0,290 =>

2·0,290/π < p < 2·(2π + 0,290)/π, 2·(- 0,290)/π < p < 2·(2π. - 0,290)/π =>

0.18 < p < 4.18, -0.18 < p < 3.8

Dvs: x = - 0,290 + p·π/2, hvor p = 1,2,3,4 og x = 0,290 + p·π/2, hvor p = 0,1,2,3

Brugbart svar (0)

Svar #8
24. februar 2016 af mathon

opsummerede løsninger i intervallet $\left [ 0\, ;2\pi \right [$

$x=\left\{\begin{matrix} 0{,}28982\\ 1{,}28098 \\1{,}86062 \\ 2{,}85177 \\ 3{,}43141 \\ 4{,}42257 \\ 5{,}00221 \\ 5{,}99337 \end{matrix}\right.$

Skriv et svar til: Trigonomisk funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.