Cos(2x) - hvordan beregner man det

Du tager den inverse cosinus på begge sider af lighedstegnet. Eftersom cosinus og den inverse cosinus er hinandens inverse funktioner, forsvinder cosinus på venstre side af lighedstegnet, så der står:

Herefter er det bare om at dividere med 2 på begge sider af lighedstegnet:

Det er ikke den fuldstændige løsning. Det er bedst at se på en tegning. Dette viser løsningen for -π < x < π:

Du skal tage hensyn til, at cos^-1(x) kun er defineret for 0 < x < π. Derfor er det kun en af løsningerne man finder ved at tage x = (1/2)·cos^-1(-0,66).

#2 Løsningen til cos(2x) = -0,66  findes ved at sige

cos(v) = -0,66 har løsningerne ± cos^-1(-0,66) i intervallet -π < x < π. Cos(v) har perioden 2π og dermed er den fuldstændige løsning med hensyn til v: v = ± cos^-1(-0,66) + p·2π.

Derefter indsættes v = 2x og man får den fuldstændige løsning for x:

x = -(1/2)·cos^-1(-0,66) + p·π  ∨  x = (1/2)·cos^-1(-0,66) + p·π

cos² x + sin² x = 1
sin x = √(1 - cos² x)

cos(2x) = -0.66
cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

-0.66 = cos² x + cos² x - 1 = 2·cos² x - 1
0.34 = 2·cos² x
0.17 = cos² x
±√0.17 = cos x
arccos(±√0,17) = x

Fuldstændig løsning

arccos(±√0,17) + n·π , n∈Z     , (Z er de hele tal, det vil sige ...,-2,-1,0,1,2,...)

(som giver det samme som i #3, men en anden løsningsform)