Vise med epsilon og delta at en grænseværdi er nået

Du skal vise, at ∀ε>0 ∃δ>0: g(]1 - δ,1 + δ[ \ {1}) ⊆ ]1 - ε,1 + ε[ (den udprikkede omegn om x = 1)

Overvej, at du må sætte en øvre grænse for δ, svarende til at vælge en mindre omegn om 1 
Lad fx δ < 0.5 og vis at heltal(-x² + 2x) = 0 for x ∈ ]1 - δ,1 + δ[ \ {1}
Gør rede for, at g(x) er voksende i ]1 - δ,1 + δ[ \ {1} 
Bestem g(1 + δ) = .... og  g(1 - δ) = ....
Indsæt i ulighederne g(1 + δ) < 1 + ε og g(1 - δ) > 1 - ε og løs disse mht. δ (husk, at  0 < δ < 0.1)
Vælg δ som den mindste af de to løsninger
Overvej, at du hermed har vist det ønskede g(]1 - δ,1 + δ[ \ {1}) ⊆ ]1 - ε,1 + ε[

Hvis du benytter TI-Nspire, kan du lege med den grafiske illustration i vedhæftede fil.

Tak for svar AMelev.

Jeg forstår ikke helt det med ∀ε>0 ∃δ >0: g(]1-δ,1+δ[/{1})⊆]1-ε,1+ε[, kan du uddybe det i ord?

Hvad mener du med at man kan sætte en øvre grænse for δ? Er det blot at bestemme et tal for δ, ligesom du har gjort med δ<0,5? Kan du kort også uddybe hvad x∈1-δ,1+δ[\{1} betyder?

Desværre benytter jeg ikke TI-Nspire. Vi bruger blot Geogebra på vores gymnasium.

Der er flere mere eller mindre præsice måder, at beskrive grænseværdi på, i dette tilfælde at g(x)→1, for x→1
- når x nærmer sig 1, så nærmer g(x) sig 1
- jo tættere x kommer på 1, jo tættere kommer g(x) på 1
- g(x) kan komme så tæt på 1, som man ønsker, hvis man vælger x tilstrækkelig tæt på 1
- for ethvert interval J omkring 1 på 2.aksen, kan man finde et udprikket (1 er ikke med) interval I_o omkring 1 på 1.aksen, som med g afbildes ind i J

Det er denne sidste egentlige definition, som oversat til matematisk bliver til
∀ε>0 ∃δ >0: g(]1-δ,1+δ[/{1})⊆]1-ε,1+ε[.

"Gloser" 
∀ læses "for alle" eller "for ethvert"
∃ læses "eksisterer" eller "findes der"
]1-ε,1+ε[ er det (symmetriske) interval J omkring 1 på 1.aksen 
\ læses "fraregnet", så ]1-δ,1+δ[/{1} er det udprikkede interval I_o, hvor 1 ikke er med - x skal bare nærme sig 1 uden nogensinde at blive 1.
g(]1-δ,1+δ[/{1}) er dermed g-værdierne af alle de x, der ligger i I_o
⊆ "delmængde af"

"Oversættelse"
For ethvert (symmetrisk) interval J=]1-ε,1+ε[ omkring 1 på andenaksen findes et udprikket (symmetrisk) interval Io = ]1-δ,1+δ[/{1}  på 1.aksen, så g(I_o) ⊆ J (I_o afbildes ind i J).
Dette svarer netop til definitionen på grænseværdi, idet man for ethvert interval altid kan fastlægge et symmetrisk delinterval, bare ved at tage den mindste afstand til hver side.

Hvis du har bestemt et interval, der afbildes ind i J, så vil ethvert delinterval jo også gøre det, hvilket svarer til at tage et mindre δ. Fidusen ved at sætte en øvre grænse på  δ er, at du så kan få samme heltalsværdi for alle x i ]1-δ,1+δ[/{1} og så bare sætte den ind i g(x), så du kan løse ulighederne.

Jeg har ikke tilstrækkelig kendskab til Geometer til, at jeg kan lave den samme kontruktion som i TI-Nspire, men det kan du måske selv. Jeg har lavet en video over TI-filen, så kan du prøve at aflure fremgangsmåden. De symmetriske intervaller er lavet ved at spejle punkt i punkt.