Matematik

Bestemmelse af et kegleformet telts radius så det krumme overfladeareal bliver mindst muligt

24. november 2016 af frederik75 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Man har fået opgivet en telt med følgende informationer: teltet har en volumen på 21m³, og det krumme overfladeareal kan beregnes med formlen O = π*r*√r²+h²eller O = π*r*s , og volumen ved V = 1/3*π*r²*h.

h = 63/r²*π

Fra hvad jeg har forstået skal man optimere sin ligning for det krumme overfladeareal, men kan ikke komme frem til en rigtig løsning.

Så hvordan er det at man skal differentiere, og lave om på disse ligninger så man får den mindste radius?

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. november 2016 af mathon

…det krumme overfladeareal kan beregnes med formlen

$O_{krum}=\pi \cdot r\cdot \sqrt{h^2+r^2}$

Svar #2
24. november 2016 af frederik75 (Slettet)

#1 jeg skal bruge denne formel til at finde den mindst muglige r-værdi, men kan ikke komme frem til det rigtige svar.

Brugbart svar (1)

Svar #3
24. november 2016 af mathon

Du ved
at:
$V=\frac{\pi }{3}\cdot h\cdot r^2\Leftrightarrow h=\frac{3V}{\pi \cdot r^2}=\frac{63}{\pi r^2}$

$h^2=\frac{3969}{\pi ^2r^4}$

hvoraf for overfladen

$O_{krum}=\pi \cdot r\cdot \sqrt{h^2+r^2}=\pi \cdot r\cdot\sqrt{\frac{3969}{\pi ^2r^4}+r^2}=\sqrt{\frac{3969}{r^2}+\pi ^2r^4}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
24. november 2016 af mathon

Da kvadratrodsfunktionen er voksende, er $\sqrt{\frac{3969}{r^2}+\pi ^2r^4}$ mindst, når radikanden $R=\frac{3969}{r^2}+\pi ^2r^4$ er mindst, hvilket kræver

$R{\, }'(r)=\frac{-3969}{r^4}\cdot 2r+4\pi ^2r^3=0$

$\frac{-7938}{r^3}+4\pi ^2r^3=0$

$-7938+4\pi ^2r^6=0$

$r=\left (\frac{7938}{4\pi ^2} \right )^{\frac{1}{6}}$

Svar #5
24. november 2016 af frederik75 (Slettet)

Tak for svarende, var i stand til at lave opgaven nu.

Skriv et svar til: Bestemmelse af et kegleformet telts radius så det krumme overfladeareal bliver mindst muligt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.