Fysik

Jævn Cirkelbevægelse (Newtons 2. lov)

10. februar 2017 af Simseren (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej, jeg sidder med en fysik B aflevering, og jeg mangler "lidt" (læs: "meget") hjælp til teori-afsnittet. Jeg har ingen anelse om hvad jeg skal gøre, eller hvordan jeg skal gøre det..

Hvis der er en der vil hjælpe mig ville jeg være virkelig taknemmelig <3
Vedhæftede billede forklarer opgaven.

Vedhæftet fil: 11.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. februar 2017 af mathon

Udtrykket for en cirkelbevægelse med centrum
i koordinatsystemets begyndelsespunkt
har stedvektor:

$\overrightarrow{r}=\begin{pmatrix} r\cdot \cos \left ( \varphi (t) \right )\\ r\cdot \sin \left ( \varphi (t) \right ) \end{pmatrix}$
med hastighedsvektor:
$\overrightarrow{v}=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin \left ( \varphi (t) \right )\cdot \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t}\\ r\cdot \cos \left ( \varphi t \right )\cdot \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \end{pmatrix}$

og accelerationsvektor:
$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d}^2 \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t^2}=\begin{pmatrix} -r\cdot \cos \left ( \varphi (t) \right )\cdot \left (\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \right )^2-r\sin(\varphi (t))\frac{\mathrm{d^2} \varphi }{\mathrm{d} t^2}\\ -r\cdot \sin(\varphi (t))\cdot \left ( \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \right )^2+r\cdot \cos \left ( \varphi t \right )\cdot \frac{\mathrm{d^2} \varphi }{\mathrm{d} t^2} \end{pmatrix}$

som for den jævne cirkelbevægelse
med $\varphi (t)=\omega t+\beta$ hvor $\omega=\frac{2\pi }{T}$ og $\beta$ er konstanter
hvoraf
$\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t}=\omega$ og $\frac{\mathrm{d}^2 \varphi }{\mathrm{d} t^2}=0$

giver:
$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d}^2 \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t^2}=\begin{pmatrix} -\omega ^2r\cdot \cos \left ( \omega t+\beta \right )\\ -\omega ^2r \sin(\omega t+\beta ) \end{pmatrix}=\omega ^2\cdot \left ( -\overrightarrow{r} \right )$
dvs
$a=\left | \overrightarrow{a} \right |=\omega ^2r=\left ( \frac{2\pi }{T} \right )^2r=\frac{4\pi ^2}{T^2}r$

og centripetalkraften:

$F_c=m\cdot a=m\cdot \frac{4\pi ^2}{T^2}r$

Skriv et svar til: Jævn Cirkelbevægelse (Newtons 2. lov)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.