Covarians efter en linær transformation

Kan du ikke vise hele opgavesættet? Du kan bestemme variansmatricen for Y ved AΩA^T, og kigge på Cov(Y₁,Y₂) fra matricen, eller hvis Y₁ og Y₂ er uafhængige, så er Cov(Y₁,Y₂) = 0. Jeg er ikke så sikker på, om det er A-niveau opgave.

Det kan du tro, men de efterfølgende opgaver (som jeg har løst), burde ikke have betydning for løsning af (1) (som jeg altså ikke kan løse). Jeg har vedlagt opgaven.

Mht. at bestemme variansmatricen, hvad er forskellen på A og A^T så? Er A = blot lig (x1 over x2)?

Der er to måder (måske flere) du kan svare på (se #2), og jeg ved ikke, om du kender dem. Jeg ville nok starte med at bestemme fordelingen af Y. Jeg glemte at skrive hvad A stod for. Her er A = {{1, -b},{0,1}}. Bestem AΩA^T, som er Var(Y). Tjek så Cov(Y₁,Y₂) gennem variansmatricen Var(Y). Der er stor forskel på A og A^T. Hvis A er symmetrisk, så er de helt ens.

A^T (A transponeret) er at du spejlvender A i diagonalen:

Ved en lineær transformation gælder der at

Her er B en vektor af samme længde som X og A er en kvadratmatrice.

Kender du det resultat? Ellers kan vi vise det uden store vanskeligheder vha. definitionen på kovarians.

Fedt med de mange svar :)

Er Cov(X) = [ 0 1

                    1 0 ] idet variansen så udgår? Det ville være det mest intuitive for mig.

Eller benytter vi hele matricen dvs. Cov(X) = [ 2 1

                                                                   1 3 ]

Din misforståelse i #7 er nok pga. mit notationsmisbrug i #6; beklager. Der skulle, i #6, have stået

Her er A transformationsmatricen fra #0.

Vi kan så skrive kovariansmatricen

og så kan vi finde kovariansen fra den matrice ved

,

dvs. kovariansen blot aflæses af off-diagonalindgangene i kovariansmatricen.

#7     Du har

Overvej hvordan/hvorfor. Nu kan du let aflæse Cov(Y₁,Y₂) fra denne matrix. Svar så på din opgave 1.