Matematik

Monotoniforhold eksponentielle funktioner

07. juni 2017 af raindrops (Slettet) - Niveau: C-niveau

Jeg er lidt usikker på hvad begrebet monotoniforhold dækker over ved eksponentielle funktioner. Er det bare hvordan grafen ser ud afhængig af a-værdierne? Indtil videre har jeg fundet ud af at:

a > 1 = voksende funktion

0 < a < 1 = aftagende funktion

Derudover ved jeg at a hverken må være 0 eller 1, er der nogen der kan forklare hvorfor det er sådan?

Brugbart svar (1)

Svar #1
07. juni 2017 af fosfor (Slettet)

Monotoniforhold dækker over grafens hældning for alle x (konstant, aftagende, voksende).

Eksponentielt = når x ændrer sig med et fast tal, så ændrer y sig med en fast procent

Hvis a=0:
y = b * 0^t = 0, dvs konstant 0, hvilket ikke kan kaldes eksponentielt, da procentvis ændring ikke giver mening når man starter i 0.

Hvis a=1:
y = b * 1^t = b, dvs. konstant b, hvilket er en eksponentiel udvikling, da en ændring i x med et fast tal ændrer y med 0 procent.

Svar #2
07. juni 2017 af raindrops (Slettet)

Så a kan i princippet godt være 1?

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. juni 2017 af mathon

$\small f(x)=b\cdot a^x$

Generelt:
$\small \small a^x=e^{\left (x\cdot \ln(a) \right )}>0$

For $\small \small\mathbf{\color{Red} b<0}\! :$

$\small a>1\! :$

$\small f{\, }'(x)=\left (b\cdot \ln(a) \right )\cdot a^x$

$\small sign\left (f{\, }'(x) \right )=\left ( (-1)\cdot (+1) \right )\cdot (+1)=(-1)$

dvs $\small f(x)$ er aftagende.

$\small 0<a<1\! :$

$\small f{\, }'(x)=\left (b\cdot \ln(a) \right )\cdot a^x$

$\small sign\left (f{\, }'(x) \right )=\left ( (-1)\cdot (-1) \right )\cdot (+1)=(+1)$

dvs $\small f(x)$ er voksende.

For $\small \mathbf{\color{Red} b>0}\! :$

$\small a>1\! :$

$\small f{\, }'(x)=\left (b\cdot \ln(a) \right )\cdot a^x$

$\small sign\left (f{\, }'(x) \right )=\left ( (+1)\cdot (+1) \right )\cdot (+1)=(+1)$

dvs $\small f(x)$ er voksende.

$\small 0<a<1\! :$

$\small f{\, }'(x)=\left (b\cdot \ln(a) \right )\cdot a^x$

$\small sign\left (f{\, }'(x) \right )=\left ( (+1)\cdot (-1) \right )\cdot (+1)=(-1)$

dvs $\small f(x)$ er aftagende.

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. juni 2017 af mathon

illustration:

Brugbart svar (1)

Svar #5
07. juni 2017 af mathon

En eksponentiel funktion
er:

$\small y=f(x)=b\cdot a^x\; \; \; \; \; \; a\neq1$
da
$\small y=f(x)=b\cdot 1^x=b$
almindeligvis
betragtes som en lineær funktion:

$\small y=f(x)=ax+b$ med hældningskoefficient $\small a=0$

$\small y=b$
hvis graf er en ret linje parallel med x-aksen.

Svar #6
07. juni 2017 af raindrops (Slettet)

Mange tak for hjælpen :)

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. juni 2017 af mathon

Det tilføjes:
   Hvis den eksponentielle funktion    $y=b\cdot a^x$ skal have en inversfunktion (en logaritmefunktion)
   kræves:
      $\frac{y}{b}>0$
dvs samme fortegn for  og .
Da i praksis oftest er positiv
   kræves b>0.

Skriv et svar til: Monotoniforhold eksponentielle funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.