Matematik

Logistisk vækst?

26. november 2017 af MadsH1999 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej!

Jeg sidder med en differentialligning, der er givet på formen:

$\frac{N'}{N}=0,60-0,0065t$

Mit spørgsmål er dog om ovenstående differentialligning er et resultat af logistisk vækst? Her tænkte jeg på følgende:

Den logistiske differentialligning er givet på formen

$y'=y(b-ay)$

Hvis jeg deler med $y$ på begge sider af lighedstegnet, fås følgende

$\frac{y'}{y}=b-ay$

Ovenstående udtryk ligner jo lidt den differentialligning jeg arbejder med, men problemet er, at variablen y indgår i udtrykket $b-ay$ , mens variablen t indgår i udtrykket $b-at$ .

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. november 2017 af peter lind

Det er logistisk vækst. Hvad man kalder de forskellige variable har jo ingen betydning

Svar #2
26. november 2017 af MadsH1999 (Slettet)

Hvorfor ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. november 2017 af peter lind

Det må duda have stødt på før. Nogle gange er det en funktion af tiden og så kalder man det en funktion af t og ikke x. Nogel gange er det hastigheden man taler om og så er kaldes det v(t) og ikke y(x). Her er det altså en funktion N(t) altså et antal

Brugbart svar (0)

Svar #4
26. november 2017 af mathon

$\small N{\, }'(t)=N\left ( 0{.}60-0{.}0065t \right )$

svarende til
$\small y{\, }'(x)=y\left ( b-ay \right )$
med løsningen:
$\small N(t)=\frac{0{.}60/0{.}0065}{1+Ce^{-0{.}6t}}=\frac{92{.}3077}{1+Ce^{-0{.}6t}}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. december 2017 af mathon

detaljer:
   $\small y{\,}'=a\cdot y\cdot (M-y)\; \; \; \; \; a>0\; \;\wedge \; \; 0<y<M$
her sættes
   $\small y(x)=\tfrac{1}{u(x)}$
hvoraf:
   $\small \left (\tfrac{1}{u} \right ){}'=a\cdot \tfrac{1}{u}\cdot \left ( M-\tfrac{1}{u} \right )$

$\small -\tfrac{1}{u^2}\cdot u{}'=a\cdot \tfrac{1}{u}\cdot \left ( M-\tfrac{1}{u} \right )$

$\small \small - u{}'=a\cdot \left ( Mu-1 \right )$

$\small u{}'=a-aMu$

$\small u{}'+aMu=a$ som løst med panserformlen
giver:
$\small u=e^{-aMx}\cdot \int a\cdot e^{aMx}\, \mathrm{d}x$

$\small u=e^{-aMx}\cdot \left ( \tfrac{a}{aM}\cdot e^{aMx}+C_1 \right )$

$\small u=e^{-aMx}\cdot \left ( \tfrac{1}{M}\cdot e^{aMx}+C_1 \right )$

$\small u=\tfrac{1}{M}+C_1e^{-aMx}$

$\small u=\tfrac{1+Ce^{-aMx}}{M}$ $\small \small \small C=M\cdot C_1$

$\small \frac{1}{u}=\frac{M}{1+Ce^{-aMx}}$

$\small y=\frac{M}{1+Ce^{-aMx}}$

Skriv et svar til: Logistisk vækst?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.