Matematik

Generel løsning af differentialligningen y'=f(x)*y+g(x)

12. december 2017 af Slashdash (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej SP!

Hvordan løses differentialligning y'=f(x)*y+g(x) symbolsk? Jeg har set nogle løsningsformler, men ingen af dem viser, hvordan de kommer frem til løsningsformlen. Den løsningsformel jeg er ude efter er $y=c*e^{F(x)}+e^{F(x)}*\int g(x)*e^{-F(x)}dx$

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. december 2017 af janhaa

https://en.wikipedia.org/wiki/Integrating_factor

Svar #2
12. december 2017 af Slashdash (Slettet)

#1
https://en.wikipedia.org/wiki/Integrating_factor

Det er ikke den løsning, og vist heller ikke den differentialligning, som jeg leder efter.

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. december 2017 af mathon

$\small y{\, }'=f(x)\cdot y+g(x)$

$\small y{\, }'-f(x)\cdot y=g(x)$ $\small \text{der multipliceres med }e^{\int -f(x)\mathrm{d}x}=e^{-F(x)}$

$\small y{\, }'\cdot e^{-F(x)}-f(x)\cdot y\cdot e^{-F(x)}=e^{-F(x)}\cdot g(x)$

$\small \left (y\cdot e^{-F(x)} \right ){}'=e^{-F(x)}\cdot g(x)$ $\small \text{der integreres p\aa \ begge sider:}$

$\small y\cdot e^{-F(x)}=\int e^{-F(x)}\cdot g(x)\, \mathrm{d}x$

$\small y=e^{F(x)}\int e^{-F(x)}\cdot g(x)\, \mathrm{d}x$

Svar #4
13. december 2017 af Slashdash (Slettet)

#3
$\small y{\, }'=f(x)\cdot y+g(x)$

$\small y{\, }'-f(x)\cdot y=g(x)$    $\small \text{der multipliceres med }e^{\int -f(x)\mathrm{d}x}=e^{-F(x)}$

$\small y{\, }'\cdot e^{-F(x)}-f(x)\cdot y\cdot e^{-F(x)}=e^{-F(x)}\cdot g(x)$

$\small \left (y\cdot e^{-F(x)} \right ){}'=e^{-F(x)}\cdot g(x)$    $\small \text{der integreres p\aa \ begge sider:}$

   $\small y\cdot e^{-F(x)}=\int e^{-F(x)}\cdot g(x)\, \mathrm{d}x$

   $\small y=e^{F(x)}\int e^{-F(x)}\cdot g(x)\, \mathrm{d}x$

Tak for det. Har dog stadig et spørgsmål. Hvordan kommer det ekstra led, der hedder + $e^{F(x)}$ ind i formlen?

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. december 2017 af mathon

$\small y{\, }'-f(x)\cdot y=g(x)$ $\small \text{der multipliceres med }\mathbf{\color{Red} e^{-F(x)}} \text{p\aa \ \textbf{begge} sider.}$

Svar #6
18. december 2017 af Slashdash (Slettet)

#5
$\small y{\, }'-f(x)\cdot y=g(x)$ $\small \text{der multipliceres med }\mathbf{\color{Red} e^{-F(x)}} \text{p\aa \ \textbf{begge} sider.}$

Det er ikke det jeg henviser til. Jeg snakker om, hvorfor der ikke er et led, der hedder + $e^{F(x)}$ til sidst, da det lednetop er i den løsningsformel jeg har i #0.

Brugbart svar (0)

Svar #7
18. december 2017 af mathon

$\small \small y=e^{F(x)}\int e^{-F(x)}\cdot g(x)\, \mathrm{d}x=e^{F(x)}\left (\int_{0} e^{-F(x)}\cdot g(x)\, \mathrm{d}x +C \right )=$

$\small Ce^{F(x)}+e^{F(x)}\cdot \int_{0} e^{-F(x)}\cdot g(x)\, \mathrm{d}x$

Brugbart svar (0)

Svar #8
18. december 2017 af LouisNivaaa (Slettet)

Marthon kan du hjælpe mig med en differentialligningssystem?

Skriv et svar til: Generel løsning af differentialligningen y'=f(x)*y+g(x)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.