Matematik

Integration af den naturlige logaritme?

18. februar 2018 af milleneedshelp1 - Niveau: B-niveau

Hej,

Hvad er \int ln(x)dx?


Brugbart svar (0)

Svar #1
18. februar 2018 af Mathias7878

\small \int ln(x)dx = x\cdot ln(x)-x+k

- - -

 

 


Svar #2
18. februar 2018 af milleneedshelp1

Skal man kunne den i hovedet? Den står ikke i vores formelsamling.


Brugbart svar (0)

Svar #3
18. februar 2018 af AMelev

Det kan du da finde ud af ved at benytte dit CAS-værktøj - men det er ln(|x|) - x


Svar #4
18. februar 2018 af milleneedshelp1

#3

Det kan du da finde ud af ved at benytte dit CAS-værktøj - men det er ln(|x|) - x

Ja, men jeg sidder og løser nogle opgaver, hvor jeg ikke må bruge hjælpemidler. Forventes det på matematik på A-niveau, at man kan løse opgaver, hvori denne funktion indgår?


Brugbart svar (0)

Svar #5
18. februar 2018 af Mathias7878

I hvert fald ikke uden hjælpemidler.

- - -

 

 


Brugbart svar (0)

Svar #6
18. februar 2018 af AMelev

#4 Der kan godt forekomme opgaver, hvor ln indgår, men så er det, fordi den skal substitueres.

Hvordan lyder din opgave - er du sikker på, du skal bruge stamfunktionen til ln(x)?


Brugbart svar (0)

Svar #7
18. februar 2018 af Sveppalyf

Man skal benytte

∫fg' = fg - ∫f 'g

hvor man sætter

f = ln(x) og g' = 1


Svar #8
18. februar 2018 af milleneedshelp1

Hvis jeg betragter følgende ubestemte integral:

\int (ln(2x-3))dx

og løser denne ved brug af integration ved substitution, så får jeg:

x-3\cdot ln(2x-3)-2x-3+k

Facitlisten siger dog følgende:

(x-\frac{3}{2})\cdot ln(2x-3)-2x+3+k

Hvad gør jeg forkert?


Brugbart svar (0)

Svar #9
18. februar 2018 af Sveppalyf

Sæt

u = 2x - 3

og dermed

du = 2 dx

Så har du

½ * ∫ ln(u) du =

½ * ( u*ln(u) - u + k1) =

½ * ((2x-3)*ln(2x-3) - 2x + 3 + k1) =

(x - 3/2)*ln(2x-3) - x + 3/2 + k

(Jeg har så defineret k = ½*k1)


Brugbart svar (0)

Svar #10
18. februar 2018 af AMelev

Der mangler parenteser i dine udtryk - 

t = 2x - 3
dt = 2 dx ⇔ dx = ½dt (har du glemt den?)

\int (ln(2x-3)dx)=\frac{1}{2}\int ln(t)dt=\frac{1}{2}(ln(|t|)-t)+k

Når du så indsætter t, får du resultatet.


Svar #11
18. februar 2018 af milleneedshelp1

Jeg løste den på følgende måde:

\int ln(2x-3)dx

Jeg finder min hjælpefunktion u:

u=2x-3

Jeg differentierer nu u:

\frac{du}{dx}=2\cdot 1-0=2

Jeg finder et udtryk for dx:

\frac{du}{dx}=2\Leftrightarrow dx=\frac{du}{2}=\frac{1}{2}du

Jeg kan nu løse integralet:

\int ln(2x-3)dx=\int ln(u)\cdot \frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\cdot \int ln(u)du=\frac{1}{2}\cdot u\cdot ln(u)-u+k=\frac{1}{2}\cdot 2x-3\cdot ln(2x-3)-2x-3+k=\frac{1\cdot 2x-3}{2}\cdot ln(2x-3)-2x-3+k={\color{Red} x-3\cdot ln(2x-3)-2x-3+k}

Er det bare fordi jeg har glemt parentesen om hele udtrykket for \int ln(u)du?


Svar #12
18. februar 2018 af milleneedshelp1

#9

Sæt

u = 2x - 3

og dermed

du = 2 dx

Så har du

½ * ∫ ln(u) du =

½ * ( u*ln(u) - u + k1) =

½ * ((2x-3)*ln(2x-3) - 2x + 3 + k1) =

(x - 3/2)*ln(2x-3) - x + 3/2 + k

(Jeg har så defineret k = ½*k1)

½ * ((2x-3)*ln(2x-3) - 2x + 3 + k1) =

Hvorfor bliver det til +3? Hvorfor ikke -3?


Brugbart svar (0)

Svar #13
18. februar 2018 af Sveppalyf

-u = -(2x - 3) = -2x -(-3) = -2x + 3

Altså minus 3 bliver til plus 3 når minusset foran parentesen bliver ganget ind i parentesen.


Brugbart svar (0)

Svar #14
18. februar 2018 af AMelev

#11\int ln(2x-3)dx=\int ln(u)\cdot \frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\cdot \int ln(u)du= \frac{1}{2}\cdot \textbf{{\color{Red} (}}u\cdot ln(u)-u\textbf{{\color{Red} )}}+k= \frac{1}{2}\cdot\textbf{{\color{Red} (}} 2x-3\cdot ln(2x-3)-{\color{Red} (2x-3)}\textbf{{\color{Red} )}} = {\color{Blue} \frac{1}{2}\cdot( 2x-3)\cdot( ln(2x-3)-1)}

Du mangler en parentes (og det har facitlisten tilsyneladende også gjort). 
Hvis du differentierer resultatet fra facitlisten, får du ln(2x -3) - 1.


Svar #15
18. februar 2018 af milleneedshelp1

Kunne jeg i princippet ikke have ganget hele leddet u\cdot ln(u)-u+k op i tælleren? Jeg forstår bare ikke, hvorfor leddet -2x-3 givet -2x +3, hvis der ikke er en parentes rundt om det? 


Brugbart svar (0)

Svar #16
18. februar 2018 af AMelev

Igen skal du huske parenteser!

-u = -(2x-3) = -2x + 3


Brugbart svar (0)

Svar #17
18. februar 2018 af Sveppalyf

Når

u = 2x - 3

så er

-u = -2x + 3

(Det er både 2x og -3 der skifter fortegn.)


Skriv et svar til: Integration af den naturlige logaritme?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.