Matematik

Funktion

22. april 2018 af RIickand (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej, jeg søger hjælp til denne opgave. Skal man finde minimum og maksium i TS, eller er der en anden måde at regne disse ting på og besvare spørgmålene? Please hjælp, er ret lost

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2018-04-22 kl. 13.55.02.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. april 2018 af hstreg (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. april 2018 af SuneChr

Funktionen differentieres og ekstre(mum)/(ma) findes på sædvanlig vis.
Lad et CAS værktøj tegne funktionen i(x) og tjek beregningerne geometrisk ved aflæsning af grafen.

Svar #3
22. april 2018 af RIickand (Slettet)

#2
Funktionen differentieres og ekstre(mum)/(ma) findes på sædvanlig vis.
Lad et CAS værktøj tegne funktionen i(x) og tjek beregningerne geometrisk ved aflæsning af grafen.

Hvordan jeg aflæse hvornår den er på det halve af maximum og hvad strålingen er? jeg får en mærkelig graf ud fra forskriften

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. april 2018 af hstreg (Slettet)

Jeg antager at der må være en tastefejl i den opridelige opgaveformulering. Idet at funktionen definieret ved

$i(x) = 1.28\cdot x^{2.6}\cdot0.91^{-x}$

er monotont voksende på hele dens definitionsmængde [0,∞). Den antager dermed ikke noget maksimum herpå, hvorfor at ingen af de fire stillede spørgsmål giver megen mening.

Jeg forslår derfor at funktionen der oprideligt var tænkt at skulle undersøges, var givet ved

$I(x) = 1.28\cdot x^{0.91}\cdot2.6^{-x}$ .

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. april 2018 af hstreg (Slettet)

Bruger vi nu denne nye funktionen, har du at:

1) Hvrnår er strålingen er kraftigest:

$\frac{d}{dx}I(x) = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \bigg(\frac{0.91}{x}-\ln(2.6)\bigg)\cdot I(x) = 0$
og idet at I(x) > 0 for alle x > 0. Gælder der at de kritiskepunkter for funktionen I(x) er

$x=0\qquad\text{og}\qquad x = \frac{0.91}{\ln(2.6)}\approx0.95$ .

Ved at indsætte disse to værdier i forskriften for I(x) finder du at den første tilsvare minimum [I(x=0) = 0] og den sidste tilsvare maksimum [I(x≈0.95) ≈ 0.49]. Altså er strålingen kraftigest efter ca. 0.95 uger.

Svar #6
22. april 2018 af RIickand (Slettet)

#4
Jeg antager at der må være en tastefejl i den opridelige opgaveformulering. Idet at funktionen definieret ved

$i(x) = 1.28\cdot x^{2.6}\cdot0.91^{-x}$

er monotont voksende på hele dens definitionsmængde [0,∞). Den antager dermed ikke noget maksimum herpå, hvorfor at ingen af de fire stillede spørgsmål giver megen mening.

Jeg forslår derfor at funktionen der oprideligt var tænkt at skulle undersøges, var givet ved

$I(x) = 1.28\cdot x^{0.91}\cdot2.6^{-x}$ .

-x i opløftet, skal rettes til x

Brugbart svar (0)

Svar #7
22. april 2018 af hstreg (Slettet)

Lad $i(x) = 1.28\cdot x^{2.6}\cdot0.91^x$

Bemærk at i(x) kun er maksimalt definieret på intervallet [0,∞).

Hvornår er strålingen kraftigst? ⇔ For hvilke x er i'(x) = 0 ?

$i^\prime(x) = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \bigg(\frac{2.6}{x} + \ln(0.91)\bigg)i(x) = 0$

Eftersom at i(0) = 0 og at i(x) > 0 for alle x > 0, gælder der at at i(x) antager sit maksimum i punktet

$x = -\frac{2.6}{\ln(0.91)}\approx 27.6$ .

Atlså er strålingen kraftigst efter ca. 27.6 uger.

Hvornår er stålingen aftaget til det halve af sit maksimum? Dette svare til at løse ligningen

$i(x) = \frac{1}{2}i\big(-\tfrac{2.6}{\ln(0.91)}\big) \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2.6}\cdot0.91^x = \underbrace{\frac{1}{2}\cdot\bigg(-\frac{2.6}{\ln(0.91)}\bigg)\cdot0.91^{-\frac{2.6}{\ln(0.91)}}}_{\text{Dette er blot et tal, lad os kalde det }A}$ .

Vi skal altså løse ligningen

$x^{2.6}\cdot0.91^x = A$ .

Dette er trancedental ligningen der ikke besidder nogen eksakt "closed form solution" ⇒ Ligningen løsses altså approximativt ved hjælp af eksempelvist et CAS værktøj.

De reelle løsninger til ligningen er x ≈ 12.0096 og x ≈ 52.8693.

Vi må kræve om løsningen at den er større end 27.6, hvorfor at vi kan ignorere den første af ovenstående løsninger og konkludere at strålingen er aftaget til det halve af sit maksimum efter ca. 52.9 uger.

Stålingen aftager med en hastighed givet ved den afledte af strålingsintensiteten. Hvorfor

$i^\prime(52.9) = \bigg(\frac{2.6}{52.9}+\ln(0.91)\bigg)\cdot i(52.9) \approx -11.9\tfrac{\mu S}{\text{uge}}$ .

Hvornår aftager stålingen hurtigst? ⇔ For hvilke x er i''(x) = 0.

Prøv om du ikke selv kan komme igennem denne udregningen. Den forløber tilsvarende den til første delogave.

Skriv et svar til: Funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.