Matematik

Formler til differentialligninger

22. maj 2018 af Bibo53 - Niveau: A-niveau

Til mundtlig eksamen har vi fået følgende spørgsmål:

a) Forklar hvad en differentialligning er og giv et eksempel på, hvordan man opstiller en differentialligning.

b) Gør rede for formler, der anvendes i forbindelse med løsning af differentialligninger. Giv eksempler på anvendelse af disse formler.

Jeg har styr på a), men hvad menes der med b)? Jeg kan ikke huske, at vi har brugt formler til løsning af differentialligninger. Jeg håber, at der er nogen, der kan hjælpe.

Brugbart svar (1)

Svar #1
22. maj 2018 af mathon

b)
        F.eks.
        differentialligningen y'+a*y+b = 0 hvor a og b er konstanter. Den kan udvides til y'+f(x)*y+g(x) = 0. De
        kan løses ved brug af panserformlen.

Svar #2
22. maj 2018 af Bibo53

Tak for svaret. Jeg kan huske, at vi har løst differentialligningen y'+a*y+b = 0, men vi brugte ikke nogen formel. Vi satte y=z-b/a og y'=z' ind i den oprindelige ligning:
z'+az-b+b=0
z'+az=0
z=ce^-ax
y=ce^-ax-b/a

Vil det sige, at man bør bruge formlen y = ce^-x-b/a til at løse differentialligningen y'+a*y+b = 0 ? Jeg har googlet panserformlen, men jeg synes ikke, det ligner helt. Det er noget med at finde en stamfunktion til f(x)=a, og det er naturligvis F(x)=ax, men så er der også et bestemt integral, som jeg ikke forstår. Måske skulle jeg bare holde mig til at f(x) og g(x) er konstanter ved eksamen?

Er der andre formler, jeg skal komme ind på ved eksamen?

Brugbart svar (1)

Svar #3
22. maj 2018 af mathon

Du skal vel kunne udlede panserformlen:

$\small y{\, }'+f(x)\cdot y=g(x)$

hvori det er brugbart at multiplicere med $\small e^{F(x)}$

$\small y{\, }'\cdot e^{F(x)}+f(x)\cdot y\cdot e^{F(x)}= g(x)\cdot e^{F(x)}$
da venstresiden kan omskrives til:

$\small \left (y\cdot e^{F(x)} \right ){}'= g(x)\cdot e^{F(x)}$
som ved integration mht x giver:

$\small y\cdot e^{F(x)} = \int g(x)\cdot e^{F(x)}\, \mathrm{d} x$
hvoraf:
$\small y = e^{-F(x)}\cdot \left ( \int_o g(x)\cdot e^{F(x)}\, \mathrm{d} x+C \right )$

Svar #4
22. maj 2018 af Bibo53

Tusind tak for hjælpen. Nu forstår jeg det.

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. maj 2018 af mathon

Har du haft om homogen lineær anden-ordens differentialligning?

Svar #6
23. maj 2018 af Bibo53

Jeg havde helt glemt andenordens differentialligninger. Vi har vist, at y''=k^2y har løsningen y=c1e^kx+c2e^-kx, og at y''=-k^2y har løsningen y=c1sin(kx)+c2cos(kx). Jeg kan godt se, at det er to gode formler at præsentere ved eksamen.

Skriv et svar til: Formler til differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.