Matematik

Sammenhængen mellem eksponentiel funktion og renteformlen.

22. maj 2018 af Mathian - Niveau: A-niveau

Udover en sammenligning af form og de forskellige størrelser, altså K0 som begyndelsesværdi etc. Hvilken sammenhængen kan man ellers omtale/bevise?

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. maj 2018 af AMelev

Det essentielle er den faste procentvise forøgelse(r) af funktionsvædien ved en tilvækst i x-værdi på 1.
Fremskrivningsfaktoreren i renteformlen bliver dermed grundtallet i den eksponentielle funktion a = 1 + r.
Den uafhængige variabel x i den eksponentielle funktion svarer til antal terminer (helt tal) i renteformlen.

Svar #2
22. maj 2018 af Mathian

Kan ikke takke dig nok! tusind tak :)

Svar #3
22. maj 2018 af Mathian

Kan du være sød at hjælpe med en lille ting mere? Når der står "kom også ind på væksthastigheder for en eksponentiel funktion", jeg har forstået ved hjælp af andre, at jeg skal differentierer funktionen. Men synes alligevel at det virker for lidt, hvis jeg bare siger; "væksthastigheden finder jeg ved at diff. funktionen, og det gøres således..." hvis du forstår hvad jeg mener?

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. maj 2018 af mathon

Det essentielle i væksthastigheden for en eksponentiel funktion
er, at:
$\small \textbf{v\ae ksthastigheden er proportional med funktionsv\ae rdien}$

$\small y=b\cdot a^x$ $\small y=b\cdot e^{kx}$

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\ln(a)\cdot y$ $\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=k\cdot y$

$\small \small a=e^k$

$\small \ln(a)=k$

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. maj 2018 af AMelev

#3 Matematik er simpelt :), men jeg har en fornemmelse af, at du ikke helt forstår hvordan væksthastighed og differentialkvotient hører sammen?

Hvis x vokser fra t med Δt til t + Δt, så vokser f fra f(t) til f(t + Δt,).
Altså er gennemsnitshastigheden $v_{gen}=\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{t+\Delta t-t}=\frac{\Delta f}{\Delta t}$
Den øjeblikkelige hastighed fås ved at lade Δt gå mod 0, og så fås $\underset{\Delta t \rightarrow0 }{lim}v_{gen}=\underset{\Delta t \rightarrow0 }{lim} \frac{\Delta f}{\Delta t}=f'(t)$ , altså er
f '(t) væksthastigheden til tidspunktet t.

Hjalp det?

Svar #6
23. maj 2018 af Mathian

#4 væksthastigheden er proportional med funktionsværdien. Kan der komme flere ord på? Vil det sige at den er konstant med y-tilvæksten? Forstår ikke helt det dogme.

#5 Jo, baggrunden for differentialregning forstår jeg godt. Men når jeg skal til at forklare væksthastigheden for den eksponentielle funktion, hvad søger underviseren fra mig? Jeg tænker som udgangspunkt at starte som #4 har gjort; at differentierer funktionen og sige at; "Den eksponentielle funktions væksthastighed er karakteriseret af ...."

Men det har sikkert været svært at forstå hvad jeg mener når I ikke har haft spørgsmålet, men det er sidste del af spørgsmålet som jeg har svært ved at forstå?

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2018-05-22 kl. 15.50.19.png

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. maj 2018 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #8
23. maj 2018 af mathon

$\small \textbf{kendetegn:}$
$\small \textup{for}$ $\small k=\ln(a)<0\Leftrightarrow e^k=a<1$

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\ln(a)\cdot y=k\cdot y<0$
$\small \textup{hvorfor}$
$\small y=b\cdot a^x=b\cdot e^{kx}=b\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{x}{X_{\frac{1}{2}}}}$ $\small \textup{er \textbf{aftagende}.}$ $\small k=\frac{\ln(\tfrac{1}{2})}{X_{\frac{1}{2}}}$

$\small \textup{for}$ $\small \small k=\ln(a)>0\Leftrightarrow e^k=a>1$

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\ln(a)\cdot y=k\cdot y>0$
$\small \textup{hvorfor}$
$\small y=b\cdot a^x=b\cdot e^{kx}=b\cdot2^{\frac{x}{X_2}}$ $\small \textup{er \textbf{voksende}.}$ $\small k=\frac{\ln(2)}{X_{2}}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
23. maj 2018 af mathon

$\small \textbf{specifikt:}$

   $\small \textup{I finansverdenen har der mange\aa rigt v\ae ret tradition for}$
   $\small \textup{notationen:}$
      $\small f(x)=b\cdot a^x=b(1+r)^x$    $\small \textup{hvor x altid er \textbf{hel} og derfor: }$

$\small \small f(n)=f(0)\cdot (1+r)^n$

$\small f_n=f_0\cdot (1+r)^n$ $\small \small \textup{eller da al finansberegning handler om \textbf{K}apital}$

$\small K_n=K_0\cdot (1+r)^n$

Brugbart svar (0)

Svar #10
23. maj 2018 af mathon

$\small \textup{For \textbf{halveringskonstanten} }X_{\frac{1}{2}}$
$\small \textup{g\ae lder: }$
$\small f\left ( x+n\cdot X_{\frac{1}{2}} \right )=\left ( \frac{1}{2} \right )^n\cdot f(x)$

$\small \textup{For \textbf{fordoblingskonstanten} }X_2$
$\small \textup{g\ae lder: }$
$\small f\left ( x+n\cdot X_2 \right )=2^n\cdot f(x)$

Brugbart svar (0)

Svar #11
23. maj 2018 af AMelev

#6 "Gør rede for" kræver normalt mere dybdegående argumentation (fx udledning/bevis) end formuleringen "Kom ind på" og "Omtal", som kan være mere pege og fortælle lidt, og der er grænser for, hvor meget du kan nå i løbet af den tid, du har til din egen fremlæggelse. Det er dog smart at være så forberedt til samtaledelen som muligt, så det er fint at have forberedt meget. Du skal bare være obs på tiden, når du vælger ud til din egen fremlæggelse..

Mht. til væksthastigheden kan du fremføre, at den er differentialkvotienten, som er f '(x) = ln(a)·a^x, altså selv en eksponentiel funktion.
For a >1 er væksthastigheden (f ') voksende, hvilket betyder, at grafen for f bliver stejlere og stejlere, efterhånden som x bliver større, men flader ud mod -∞, da f '(x) → 0 for x → -∞.
Omvendt, hvis 0 < x < 1.
Henvis undervejs til monotonien, som du bør have redegjort for i 1. del af spørgsmålet
Så er du da kommet ind på væksthastigheden.

Svar #12
23. maj 2018 af Mathian

Jeg siger mange tak for hjælpen, super afklarende ! og tak for rådet hvad angår eksamen, og selvfølgelig tak til Mathon også!!!

Brugbart svar (0)

Svar #13
23. maj 2018 af AMelev

#11
Omvendt, hvis 0 < x < 1.

Skrivefejl. Selvfølgelig 0 < a < 1

Skriv et svar til: Sammenhængen mellem eksponentiel funktion og renteformlen.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.