Tal

Størrelsen af uendelige mængder kan virke underligt første gang man arbejder med dem. Derfor er det vigtigt at huske hvordan størrelsesbegrebet er defineret generelt.

Definition: To mængder, A og B, er af samme størrelse hvis og kun hvis der findes en bijektion f:A->B.

Det vigtige ved dette er, at de mængder du kikker på alle sammen har samme størrelse som de naturlige tal, som vi kan se på en forholdsvis simpel måde:

Hvis A={p₁,p₂,p₃···} så kan vi lave en bijektion mellem A og N ved funktionen f(p_n)=n, altså har vi at A har samme størrelse som de naturlige tal. Tilsvarende er 2A og N også lige store ved funktionen f(2p_n)=n og til sidst er også 4A og N lige store ved funktionen f(4p_n)=n.

De mængder du betragter til sidst er også den samme størrelse som N ved funktionen f:2^m{2n+1}->N givet ved f(2^m(2n+1))=n+1.

Abstraktionen der kræves er lidt, at uendelige ting ofte kan være ganske anderledes end hvordan endelige ting foregår.

Okay... Jeg tror jeg skal se beviset før at jeg er overbevist...

Lad A være en uendelig mængde bestående af alle ord med mindst 1, men vilkårligt mange bogstaver.
De elementer i A der starter med a udgør en delmængde B.

Definer C ved at fjerne det eneste enkelt-bogstav-ord i B
   C = B / {"a"}

Afbildningen  f : A -> C  tager et element fra A og tilføjer et a som nyt startbogstav.
  -  f er veldefineret, da billedet starter med a og består af mindst 2 bogstaver.
  -  f er injektiv fordi to forskellige elementer i A stadig er forskellige, når der foranstilles et a på begge.

Da f er injektiv, så er der en surjektiv afbildning g fra billedemængden f(A) til A.
Dvs. en afbildning fra en delmængde C (de ord der starter med a) surjektivt ind i A (mængden af alle ord).

Dvs. der er mindst ligeså mange ord der starter med a som der er ord overhovedet.

#3

Jaja... Måden man finder ud af kardinaliteten på er netop at hvis der findes en bijektiv afbildning f : A → B, så er |A| = |B|... Det ved jeg godt... Men jeg mener stadig at den ikke tager forbehold for antallet... For det er jo enkelt og også simpelt, at Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} selvfølgelig er større end N = {1, 2, 3,...}

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2} = {..., -2, -1, 0} ∪ {1, 2, 3,...} = {..., -2, -1, 0} ∪ N                             (1.1)

Så er det indlysende at Z må være større end N... Derfor tror jeg bl.a også jeg og mange andre, rynker pande første gang man beskæftiger sig med kardinalitet... Men i følge teorien, så bør

|Z| = |N|                                                                                                                              (1.2)

Vi har også pr. def. at to disjunkte mængder A, B at |A ∪ B| = |A| + |B| og sammenholder vi dette med (1,1) og (1,2), så bryder min verden sammen...

|Z| = |{..., -2, -1, 0} ∪ N| = |{..., -2, -1, 0}| + |N| = |N| ⇒ |{..., -2, -1, 0}| = 0..

En bijektion tager dog forbehold for antallet, hvilket er hele meningen med definitionen. En bijektion f:A->B er både injektiv og surjektiv, så til hvert element i B kan knyttes et unikt element i A. På den måde så bliver hvert element a fra A parret med et unikt element b fra B - altså må der netop være lige mange elementer i A som i B.

Mht. |A ∪ B| = |A| + |B|, så er det igen noget fra den endelige mængdeteori der ikke giver så meget mening for uendelige mængder: Da de tre mængder du har nævnt i dit eksempel er uendelige, så skal du jo give mening til udsagnet "∞=∞+∞", og det er så her man skal begynde at tænke sig om for det er jo ikke trivielt (og man begynder at skulle overveje ordinalteori for at forstå dette på en ordentlig måde). Du kan dog ikke konkludere som du gør, at |{..., -2, -1, 0}| = 0. Svaret er, at dit usagn ovenfor kan opskrives som en lighed mellem ordinaler (kardinaler) ω=ω+ω, som faktisk er sandt! Det gør dog ikke noget hvis du ikke helt forstår hvad det er det står for, men grunden til det er sandt er at alle de tre mængder du overvejer er tællelige (i.e. at de er i bijektion med N) og at unionen af tællelige mængder er tællelige.